Dans le cas général , l'équation
représentera une infinité de surfaces dilïerentes, passant
par les di\'ers points de la trajectoire AMB. Nous allons démon irer que si LMU est l'une de ces surfaces, la force motrice P au point M lui est normale.
En effet, la normale à la surface LMU au point M fait avec les
axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
df df df . , 1, .
-j-5 —5 -r-; or ces quantités sont elles-mêmes propor-
djo et y (J.Z
tionnelles à X, Y, Z, ou aux cosinus des angles que la force P fait avec les axes. Donc la force motrice est normale à la surface LMU.
C'est ce que l'on vérifie dans l'exemple précédent où les surfaces analogues kf[x^j, 2) = C sont des plans horizontaux perpendiculaires à la force motrice qui agit suivant la verticale.
Si la sxxYÏace f i^x , j , z) =^ C offrait une résistance indéfinie, et si le point mobile se trouvait placé sur cette surface sans vitesse acquise, il y demeurerait en repos, puisque la force motrice serait normale en ce point à la surface. C'est ce qui arriverait pour un point matériel placé sans vitesse sur un plan horizontal.
CAS ou IL Y A UNE RÉSISTANCE.
273. Quand un mobile éprouve un frottement ou se meut dans un milieu résistant, l'expression ^dx -^-Y dj -\-7jdz n'est plus une différentielle exacte. En effet, s'il y a frottement, cette force s'exerce suivant la tangente à la
ip^ COURS DE MÉCANIQUE.
trajectoire et en sens inverse du mouvement du mobile; elle est proportionnelle à la pression normale N du mobile sur la courbe qu'il décrit. Le frottement est donc représenté par — /"JN, y étant un coefficient constant. Ses composantes seront
ds ds ds
et r
expression
sera la partie de ^dx -{-Ydj-^Tjdz provenant du frottement. Or la pression N est inconnue au point considéré et ne dépend pas uniquement de l'arc parcouru. On ne peut donc pas dire que — J^N ds, et par suite que IL dx -\- Y dy -\- 7j dz, soit, dans ce cas, la différentielle exacte d'une fonction de x,j', z.
274. Quand le mobile se meut dans un milieu résistant, la résistance de ce milieu est une certaine fonction y [v^ de la vitesse, et la partie de cette force qui entre dans XJj: h- Ydy -+- ïidz est, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire, — /^(t^) ds. Or la vitesse v^ et par suite y" (i^), ne dépendent pas des différentielles de x^ r, 2, et par conséquent — / (i^) ds n'est pas une didérentielle exacte, non plus que J^dx -^ ^^j •+- Tjdz.
Dans ce cas, si le point se meut sur une couibe connue, il faudra prendre l'équation
T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. Au moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de 5, et alors la détermination du mouvement sera ramenée à l'intégration d'une équation dilférenlielle du second ordre, tandis que si '^dx 4- Y dj -h Tidz était une dilïé-
VINGT ET UNIÈME LEÇON. 1 99
rentîelle exacle, on n'aurait à intégrer qu'une équalion différentielle du premier ordre.
CAS ou LE MOBILE EST SOLLICITÉ PAR DES FORCES DIRIGÉES VERS DES CENTRES FIXES.
275. Il est un cas important dans lequel l'expression Hclx-i- Y f^j -\-Tjdz est toujours une différentielle exacte, c'est celui où un point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fixes et dont les intensités sont des fonctions des dislances du mobile à ces différents centres. Supposons qu'une force dirigée vers le centre fixe K (e,/, g) repousse un point M (x, J', -z), avec une pj énergicR, fonction seulement de
la distance ]MK = /'. Les composantes de la force R étant
, la
