SUITE DE LA COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES

Calcul de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point. — Conditions d'équilibre de plusieurs forces concourantes. — Équilibre d'uu point assujetti à demeurer sur une surface, — sur une courbe-

CALCUL DE LA RÉSULTANTE DUN NOMBRE QUELCONQUE DE FORCES APPLIQUÉES EN UN MEME POINT.

49. On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point A.

En effet, menons par ce point trois axes rectangulaires quelconques Ax, Ay, Az. Soient a, j3, y; a', |S'j y', . . ., les angles que les directions des forces P, P', P", . . . font avec les axes Ax, Âj, Az.

Si l'on décompose la force P en trois autres dirigées suivant les axes, ces composantes seront représentées, quant à la grandeur et au signe, par

Pcosa, Pcosp, P COS7.

Des expressions analogues représenteront les composantes des forces P', P", .... En désignant par X, Y, Z les résultantes des forces dirigées suivant les axes, on aura

[ X== P cosa -f- P' cosa'H- P" cosa" -{-..., (i) 1 Y= Pcosp-^ P'cos[i'-h P"cos[i"+ ..,

( Z =- P COS7 -1- P' COS7' -r- P" COS7" +

La question est donc ramenée à la composition de trois forces appliquées à angle droit en un même point. Eu appelant R la grandeur de la résultante, et a, è, c les

lo corns de mécanique.

angles qu'elle fait avec les axes, ou aura (17)

COS«= — 1 COSy=:— ? COSC = — •

20. L'intensité de la résultante ne dépend pas du choix des axes ou des angles a, |3, y; a', (3', y', ... : il doit donc être possible de l'exprimer indépendamment de ces quantités.

En effet, élevons au carré les équations (i) et ajoutons-les. En observant que l'on a

X^ + Y=4-Z' = R=, cos^a -f- cos'P -1- cos'7 =1,

COS'a'+COS^P'+ C0S^7'=: I,

il viendra

-1- 2PP' (ces a CCS a' + ces [3 cosp' + COS7 ces y' ) A- . . ..

Mais si l'on désigne par (P, P') l'angle que font entre elles les directions des forces P et P', on a

cosa cosa' -(- cos^ cosp' + COS7 COS7' = cos(P, P').

Par conséquent, on a