I .3.5. . . (in — i

A„r^ r-TT ^"Ao.

A r^ dx

Il suffit donc de déterminer Aq ou | -—===' Ur

Jo s/bx c^

r dx

J slbx-x^ \ . h^{b V

VIKGT-TKOISIÈME LEÇON. 2t5

OU

\j bx

donc on aura

Par conséquent

Ao = 7r, A,=:-^7r, Aj =r: j b'^ T^ -, A3 :== ' . ' ,. ^^TT,.

2 2.ZJ. 2.4-0

et par suite T =

Telle est la formule qui donne la durée d'une oscillalion pour une amplitude quelconque.

291. Quand l'amplitude est très-petite, b = i — cosa peut être négligé, et l'on retrouve la formule approchée

Vi'

01, remplaçant b par i — cosa ou i ^r— r +...,

on négligeait dans l'expression les puissances de ex. supérieures à la seconde, on trouverait

^=Vi(-^5)'

Ainsi la durée de l'oscillation dépend de l'amplitude et augmente avec cette quantité.

PENDULE CYCLOIDAL.

292. Considérons le mouvement d'un point pesant sur imecYcloïdeCBC renversée, située dans un plan vertical et dont Taxe BD est vertical.

2l6 COL'US DE MÉCANIQUE.

Prenons pour axes de coordonnées l'axe B:r et la tani^ente Bj au sommet B. Soit A le point de départ du mobile

où nous supposerons sa vi lesse nulle, et soit M(.r, y) sa position à une époque quelconque t.

^' Soit a le diamètre ^' BD du cercle générateur. Les composantes de la force accélératrice étant

l'équation générale du mouvement

( I ) <fp' ::= — Igclx^

d'où

Si BH = A, on doit avoir t^ = o pour x =^h^ d'où o = C — igh : donc

Soit maintenant BM =:^ s, on a ^^= ^ax = ahx en appelant b le rayon de courbure BR = 2BD de la cycloïde au point B. Il en résulte

s = y/2 bx

ds = ^-i 0

Sjx

ds

Comme dans la première oscillation p* = — — j on en

déduit, à cause de p- = \jig [h — x), (3) di = -

!b dx V S Jhx-^'

VINGT-TROISIÈME LEÇON. 21 7

Intégrant et déterminant la constante par la condition que l'on ait à la fois t = o et x = 7i, û vient

293, Le temps que le mobile emploie à descendre de A en B s'obtient en faisant :c = o dans celte formule. En ajipelanl T la durée d'une oscillation, on aura

— \ / — arc cos ( — 1 1 ,

d'où

On obtiendrait encore ce résultat en faisant x =^ h dans la formule (4) et en prenant 27t pour arc cos (i).

Ainsi, dans la cycloïde, la durée des oscillations est rigoureusement indépendante de leur amplitude, et différents mobiles, partis au même instant, sans vitesse initiale, de divers points de cette courbe, atteindraient au même instant le point le plus bas. Le temps d'une oscillation est TT W -•, c'est la durée des oscillations très-petites du pendule simple dont la longueur est b^ rayon de courbure de la cycloïde au point B, ce qui s'accorde avec ce qu'on a dit des petites oscillations d'un point pesant sur une courbe quelconque.

294. On pourrait imaginer un pendule dans lequel les oscillations s'effectueraient toujours dans le même temps, malgré l'inégalité de leurs amplitudes. Construisons la développée de la cycloïde, composée des deux moitiés RC et KC d'une cycloïde égale à la première. Supposons qu'un point pesant soit attaché à l'extrémité d'un fil lié par son autre extrémité au point K. Si le mobile, dans une de ses positions, se trouve sur la cyloïde CBC, comme le fil, abandonné à lui-même, restera toujours langent li

2l8 COURS DE MÉCANIQUE.

CKC, son extrémité M décrira la cycloïde CBC, Toutes les oscillations devront s'effectuer dans un même temps

égal à TT v/ -; mais ce moyen, proposé par Huygliens, a

été abandonné, parce qu'il n'offre aucune précision dans la pratique.

TAUTOCnHONE.

295. On appelle iantochrone toute ligne courbe sur laquelle un point pesant abandonné sans vitesse initiale

d'un point quelconque de cette courbe parvient dans le même

"a^-~ --^ temps au point le plus bas. La

cycloïde est donc une courbe tautochrone (293). Nous allons faire voir que c'est la seule courbe tautochrone dans le vide.

Si l'on appelle t' le temps nécessaire pour décrire AB, on a ^./c'' , -^^^ ;.-'"'-'

\Jh — X

et il s'agit de déterminer s en fonction de x^ de manière que la valeur de t' \]o.g soit indépendante de h.

Supposons s développée en série suivant les puissances ascendantes de x :

(2) 5 = A.r^+B./+Cx>'-h

Comme s et x ont leur origine au point B, et qu'on a

s r= o pour a: = o, il faut que tous les exposants soient

positifs et qu'aucun ne soit o. Le plus petit a doit être

. 1 1) • . r. dx ds

moindre que 1 unité 5 car en b on a — - = o ou — == °° •

CtS Cl ju

Substituant la valeur de s dans (i), on aura

■' dx -+- B S I ■ dx-\~.'. ■>

do Si'^ — -^ Jo s/à~.^

VINGT-TROISIÈME LEÇON, ÛIQ

et, en faisant x = hu,

du

Cette quantité doit être indépendante de h : il faut donc que le plus petit exposant de 7^ ou a soit nul, puisque s'il était positif on aurait T=: o pour h = o, et s'il était négatif on aurait T= co pour la même hypothèse. Les autres termes doivent disparaître; donc

et par suite

, , /a r^ du I

\ ^ Jo V " — " ou

TT /a

L'équation s == h \]x appartient à une cycloïde. Donc la cycloïde est la seule courbe tautochrone dans le vide.