PENDULE DANS UN MILIEU RÉSISTANT
297, En désignant par E. la résistance du milieu, Téqualion du mouvement sera
(r) ^ = ,^sine-R.
Comme il s'agit de petites vitesses, nous supposerons la résistance proportionnelle à la vitesse, et nous poserons
k k dt
On a 5 = a (a — G) : donc
~ k dt
gn r/9
En remplaçant dans l'équation (i) — par — a~ — ?
s\n9 par 0 et R par la valeur précédente, on aura à intégrer l'équation du second ordre
r/29 g rlO o-
On a une solution particulière de cette équation en prenant
0 = ce'^',
r étant une racine de l'équation
On a donc
y^'a^Sjlk^ ''
ou, en posant y = i / i — — — ,
La solution générale de l'équalion (2) sera doue
ccosl ty \/ '- I + ^ sin I ty
On déterminera c et c' par les conditions ô = a, ^ = o
pour « 3:= o, d'où c = 0., c' = — ~ et
dO
A la fin de chaque oscillation, — = o, ce qui donne
et
Les oscillations sont isochrones comme dans le vide, et leur durée est augmentée dans le rapport de i à y. Faisant t = «T, on a l'amplitude de la n"^'"" oscillation,
riTt^ sa
ap-
donc les amplitudes successives forment une progression
géométrique décroissante dont la raison est p = e ^'^'^ .
298. Lorsque le mouvement a lieu sur une cycloïde, toutes les oscillations se font rigoureusement dans le môme temps, en sorte que cette courbe est encore tautochrone dans un milieu qui résiste proportionnellement à la vitesse.
VINGT-TROISIÈME LEÇOjV. 223
En effet l'équation du mouvement
dv d.r go
'dl~^d7~J
cl S cIjo s
devient, en remplaçant i^ par -et — par -?
dt ds
dt'^ k dt a
Cette équation, analogue à l'équation (2) obtenue approximativement au n° 297, donnera pour T une valeur indépendante de s.
