Soit M un point mobile sollicité à chaque instant

par une force dont la direction passe constamment par un même point O. Les composantes de la force accélératrice, par rapport à trois axes rectangulaires menés par le point O, seront proportionnelles aux cooidonnées du poiiat M. On aura donc

ou bien

cJJz

clf

fil'

df"

xd'^ y — y d^ .r

dt^

zd-

xd'

dt'

zd^

dt^

équations dont chacune est une conséquence des deux

autres. En les intégrant et désignant par c, c', c" trois constantes arbitraires, on aura

[ xilj — y d.r z^ c dt ,

(2) \ zdx — xdz ■:=: c dt , \ y dz — z dy = c" dt.

Les constantes c, c\ c" se détermineront quand on connaîtra la position initiale et la vitesse initiale du mobile, en grandeur et en direction, c'est-à-diie les valeurs ini-

. , - d.v dy dz

liâtes de x. r, z. -—■> -—■> —-- ' -^ ' ^ dt dt dt

300. Si l'on ajoute les équations après les avoir respectivement multipliées par z,j^ x, on a

(3) o = cz + c'y + c".r,

équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées. Ainsi la trajectoire est une courbe plane. En effet, on voit bien à priori que le point mobile ne doit pas sortir du plan mené par le rayon vecteur initial et par la direction de'la vitesse initiale.

Interprétons maintenant les équations (2). SoitOP = ;' la projection du rayon vecteur OM sur le plan des xj, et soit VOx = d, on aura

tangQ = '-■,

d'où, en différentiant par rapport à t,

d G X dy — 1 • dx x dy — y dx

d'où l'on lire

r- f/9 := xdj- — y dx.

Mais si Ton appelle 1 l'aire BOP parcourue par la projection du rayon vecteur, pendant le temps t, on a

dl = -f^dO:

Stcrm. — Jllcc., I. l5

donc

d\ =: - [x dy — y dx) ou d\ =

: -cdt.

d'où l'on tire

Il n'y a pas de constante à ajouter : car A étant la projection de l'aire pendant le temps t, on doit avoir X =i; o pour f = o.

On conclut de là que le secteur engendré par le moU' veinent de la projection du rayon ^vecteur sur un plan quelconque est proportionnel au temps. La constante c est le double du secteur parcouru, pendant l'unité de temps, par la projection du rayon vecteur sur le plan des xy. On aura des résultats analogues pour les deux autres axes. On aura donc

(5) \ = -ct, y! = ~c't, \" = lc"t,

}/ et X" désignant des quantités qui se définissent de la même manière que X. Si l'on projette le rayon vecteur sur le plan même de la courbe, on en conclut que l'aire engendrée par le rayon vecteur lui-même est proporlionnelle au temps.

301 . Réciproquement, si la trajectoire d'un point mobile est plane et telle, que les aires engendrées par le rayon vecteur, partant de l'origine des coordonnées, soient proportionnelles aux temps, la force motrice passera constamment par l'origine des coordonnées. En effet, dans cette hypothèse, le secteur OAM est proportionnel au temps; par suite il en est de même de sa projection A, sur le plan des xy. Donc, en appelant c le double de l'aire parcourue par la projection du rayon vecteur sur le plan

des (x, y) pendant l'unité de temps, on a X = -et. Or

dl = —r^ dQ z^ — (xdy — yd-x) , 2 2 ^ - / '

donc

xdy — y dx = c dt.

Différentîant cette équation par rapport à i, considérée comme variable indépendante, on en déduit

on a de même

de-

On conclut de là que les composantes de la force motrice

cL " ce cl ^ y cl " ''i

parallèles aux axes, savoir : m -——•, m — '— et m —-^ -, eu ^ ' de de de

appelant ni la masse du point mobile, sont proportionnelles aux coordonnées de son point d'application. Par conséquent, le parallélipipède dont les coordonnées x, à\ z sont les trois côtés contigus est semblable à celui qui a pour côtés les composantes de la force motrice, d'où il suit que la diagonale du second, suivant laquelle est dirigée ia force motrice, coïncide en direction avec la diagonale du premier, qui aboutit en O. Donc la force motrice passera constamment par ce dernier point.