EXPRESSION DE LA VITESSE EN COORDONNÉES POLAIRES
302. Prenons pour pôle le point O, par lequel passe constamment la direction de la force motrice, et pour axe polaire, une droite quelconque Ox, située dans le plan de la courbe. Soient OM = r et MOa:= Q. En appelant ds la différentielle de l'arc de la trajec-
ds'^ toire, terminé au point M, on sait que t^^ = — 5 or, quelle
220 COURS DE MÉCAEIQUE.
que soit la variable indépendante, dy = dt'~ -b- r- dQ~ -^ donc
(0 ''='—di' —
303. On a souvent besoin de connaître les composantes de la vitesse au point M, suivant OM et suivant une perpendiculaire à OM. Or, si tJest l'angle OMT formé par OM avec la tangente MT à la trajectoire, P'cosi^ et (^sinJ sont les deux composantes. On a
d'ailleurs
dr . „ rdO
coso = — 5 sin a := — — :
as as
ds dt
(2) V coso = —5 vs\no=:—--'
^ ' dt dt
304. Considérons la force accélératrice R qui agit suivant MO. Supposons-la attractive; si elle était répulsive, il suffii^aitde changer R en — R, dans ce qui va suivre.
Alors R- et R- seront les composantes de R parallèles
aux deux axes rectangulaires Ox et Oy et, comme elles agissent dans le sens des x et des j'" négatifs, ou aura
^ ' de r de r
En ajoutant ces deux équations respectivement multipliées parj' et par a?, on a, comme plus haut,
xd'^j — ycPx
de
On en déduit
X dj — y dx = c dt,
VIA'GT-QUATEIÈME LEÇOK . 22^
et comme o:^ — jdx = r^d9 [300], il vient (4) r^dB=cdt.
Si l'on multiplie respectivement par 2dx et idy les deux équations (3) et qu'on les ajoute membre à membre, il vient
idxd^x -\- idyd'^Y ^ xdx-^ydY
dt' r
Or
ds''- dx^ -{- dy^
dt- ' df" '
d'où résulte
o.dxd'^x ■+- 'îdjd^y rdr ■=■ xdx + ydy, dv^ = — •
Donc
(5) di'^^ — 'zRdr.
305. On peut obtenir une expression de la vitesse, qui ne contienne ni t, ni ses différentielles. On a
dr^ -h r^'dO^ dt'
r^d9^ D'ailleurs l'équation (4) donne dt^ = — - — Substituant
celte valeur dans l'équation précédente, il vient
dr^-hr^dO^
r'dB'
l^r^ dO' J
ou enfin
(6) ' f'=cM -
Donc, si on connaît la nature de la trajectoire, on pourra.
\r' dO^ J
23o COUUS DE MÉCANIQXJE-
au moyen de celte formule, calculer la vitesse en un point quelconque.
306. Quant aux composantes de la vitesse sviivant OM et suivant une perpendiculaire à cette droite, il est facile d'en avoir des expressions indépendantes du temps. En
effet, si dans les équations (2) on remplace dt par •>
on a
ou
cdr . . crdQ
r'dd r^dQ
cd —
^'' dQ r
On tire de la dernière (8) c.= -,
p étant la longueur de la perpendiculaire OT =: rsinJ', abaissée du point O sur la tangente MT, d'où l'on conclut que la ^vitesse en un point de la courbe est en raison inverse de la perpendiculaire abaissée du point O sur la tangente à la trajectoire, au point considéré.
EXPRESSION DE LA FORCE ACCÉLÉRATRICE EN FONCTION DES COORDONNÉES DU POINT MOBILE.
