SUITE DU MOUVEMENT DES PLANÈTES

Monvemenld'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance. — Cas d'une orbite elliptique. — Cas d'une orbite circulaire ou presque circulaire. — Cas d'une orbite parabolique.

Fig. io/|.

MOUVEMENT d'uN POINT ATTIRÉ PAR XIN CENTRE FIXE EN RAISON INVERSE DU CARRÉ DE LA DISTANCE.

313. Supposons toute la masse d'une planète i^éunie à son centre de gravité, et clierclions le mouvement que

prendra ce point, sollicité à chaque instant par une force dont la direction passe constamment par un point fixe O, et dont l'intensité varie en raison inverse du carré de la distance OM = /'.

En premier lieu, la trajectoire est plane et située dans le plan qui passe par le point fixe et par la direction de la vitesse initiale. Prenons le point O pour pôle et Ox pour axe polaire, et soient /' et Q les coordonnées du point M, au bout du temps t : on aura, par le principe des

aires,

r'^dB =^cdt.

Or (303)

r-d9 dt

rdO . , dt

en appelant v la vitesse du mobile et à l'angle que forme

le rayon vecteur avec la laiigenle à la trajectoire. Donc

(2) c = (' X rsirKÎ.

Ainsi on peut dire que la constante c, qui représentait déjà le double du secteur engendré parle rayon vecteur, pendant l'unité de temps, la trajectoire étant supposée connue, sera pour nous, dans la question actuelle, le produit de la vitesse du mobile par la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la tangente, à un instant quelconque, par exemple à l'origine du temps.

Soit maintenant R la force accélératrice à l'instant que l'on considère. On a

(3) dv' = — 2Rdr,

et comme ici R = -^5 en appelant y. la force accélératrice à l'unité de distance, il vient