CAS T) UNE ORBITE CIRCULAIRE OU PRESQUE CIRCULAIRE
321. La théorie indique c|ue l'ellipse peut se réduire à un cercle. Dans ce cas e = o, r= a et le carré de la
vitesse u^=^ - devient constant. En même temps, la force
accélératrice
fi p. ai'"^ v^
est aussi constante et égale à la force centripète -•
322. Quand le nombre e est très-petit, on peut déterminer approximativement l'anomalie excentrique u^ le rayon vecteur r et l'anomalie vraie Q — w, en fonction du temps t. De l'équation
nt=zii — e sin ii,
on déduit
u ^=.iît -\- esm[nt -h e î,\nu)
ou
u :=:.jit -\- es\nntcos['esinu) + esin(esinM) cosiit.
Maintenant, comme e est supposé très-petit, convenons de ne conserver, dans ce qui va suivre, aucun terme qui contiendrait e à une puissance supérieure à la première. Alors on devra simplement prendre i pour cos(esin u), esinii pour sin (e sin m), et négliger esin(esinM). L'équation précédente devient
(i) u =:. ni -^ eûnnî.
En remplaçant u par celte valeur dans l'équation rzzz:a[i — ecosî/) et négligeant, comme ci-dessus, les
puissances de e supérieures à la première, on obtient de luôaie
^2) r = «(i — t'cosrt^).
Enfin, pour avoir la relation entre 0 et î, on part de l'équation r'^ dQ =^ cdt. On a
c ==: na- k/ I — eet
r = ^^ = rt I — e-) ,
i-|-ecos(6 — w) i+t'Cos{Ô- — Ci)
c'est-à-dire
r=: a[\ — c^) [i — <? CCS (9 — w) -r- e'cos'(9 — w) — . . j
ou simplement
rz=a[i — e('os(0 — w)],
en négligeant les puissances de e, supérieures à la première. On en déduit au moyen de la même simplification
r^d9 1= a'[i — 2<?cos(G — w)]<-/0 et par suite, à cause de
r^clQ = cdt = na'^ y i — e^dt, on a
[i — 2ecos(9 — tjiY\d9 =z ndt,
d'où l'on lire, en intégrant,
9 — w = «^ -f- 2 (? sin (9 — w ) .
Enfin si l'on remplace sin (9 — œ) par
sin[«f + 2esin(9 — w)]= sin/?^ ces [2e sin (9 — w)]
H- coint sin[2e sin(9 — w)],
il vient, en développant et négligeant comme précédem-
VIWGT-CINQUIÈME LEÇON. 245»
ment les termes qui contiennent en facteur une puissance de e supérieure à la première,
(3) 6 — (ù :=. nt + O-e^inrit.
Les équations (i), (2) et (3) sont celles auxquelles on voulait parvenir.
323. Quand e = o, la formule (2) donne r = « et fait voir que la trajectoire est un cercle. En même temps, l'équation (3) montre que Tangle Q augmente proportionnellement au temps 5 donc la vitesse est constante, comme on l'avait déjà conclu d'autres formules.
D'après cela, AMA' étant l'orbite d'une planète, décripj jqq vons du point O comme centre^
avec un rayon arbitraire Oa, une circonférence de cercle.
Imaginons maintenant qu'un mobile quelconque m se meuve i sur cette circonférence avec une vitesse constante, de telle sorte que ce mobile et la planète se trouvent au même instant en a et en A sur le grand axe de l'ellipse, et qu'ils accomplissent tous deux une révolution entière dans le même temps. La formule Q — (ù =i nt -\~ ae smnt fait voir que, dans la première moitié du mouvement, c'està-dire de A en A', le rayon vecteur OM précédera Om et que l'inverse aura lieu dans la seconde période du mouvement
AS
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