D2 COURS DE MÉCANIQUE
MOLVEMEKT ABSOLU ET RELATIF DE DEUX CORPS QUI s'âTTIREKT.
329. Il résulte du principe de l'altraciîon ou gravitation universelle, que si M et m sont les masses respectives du soleil et d'une planète, r la dislance de leurs centres de gravité, et f le coefficient de l'attraction universelle,
— ^ — est Ja mesure de 1 attraction qu un de ces deuxcorps exerce sur l'autre. Par suite, abstraction faite de
/M fin . ,
toute autre cause, - — - et - — ~ sont respectivement les
forces accélératrices de la planète et du soleil, et, comme elles sont en raison inverse des masses de ces deux corps, on en conclut que, s'ils n'avaient aucune vitesse initiale, ils viendraient se réunii- sur la droite qui joint leurs centres au centre de gravité du système de ces deux corps, lequel point partage celte droite en deux parlies réciproquement proportionnelles à leurs niasses. Pour le faire voir plus clairement, appelons S et 5 les espaces reciilignes parcourus par le soleil et par la planète, jusqu'à leur point de rencontre. On aura
d'où
de
film
de
/Mw
résulte
dl-
ae
Par suite
3t enii!
^ rZS ds
dt dt
RIS = ms.
Il n'y a pas de constante à ajouter, car on suppose que
YIKGT-SIXIÈME LEÇON. 253
le soleil et la planète partent en même temps, sans vitesse initiale. De l'équation MS = ms , on déduit
ce qui démontre la proposition énoncée.
330. Si l'on veut obtenir le mouvement relatif d'une planète autour dusoleil, c'est-à-dire le mouvement apparent de cette planète pour un observateur placé à la surface du soleil, il faudra supposer appliquée au centre de gravité du soleil une force égale et contraire à celle qui le fait mouvoir dans l'espace, afin de pouvoir le considérer comme fixe 5 mais, en môme temps, afin de ne pas altérer le mouvement de la planète par rapport au soleil, il faudra aussi regarder une force égale et parallèle à cette dernière comme appliquée au centre de gravité de la planète. Par conséquent, ce dernier point seia constamment sollicité par une force dirigée vers le centre du soleil , et égale à
/M fm ^ f[M^„y) p
en appelant p: le coefficient J" (M -{- m) constant pour toutes les positions de la planète. Ce fait est encore une conséquence du calcul, comme nous allons l'établir. Supposons les masses du soleil et de la planète con
Fig. 108.
centrées à leurs centres de
ravité, M (xj , yi , Sj) et
mLM-
nt {x,j, z) ces deux poinis
étant rapportés à trois axes
rectangulaires quelconques,
mais fixes dans l'espace. Le
point M décrira dans son
/ />'' mouvement une certaine
V courbe AMB, et le point 11:2
une courbe anib. Menons maintenant par le point M, à
l'inslant considéré, trois axes rectangulaires parallèles à Ox, Oj- et Oz, et supposons que le point M, dans son mouvement, emporte ces axes parallèlement à euxmêmes avec lui. Appelons ^, ti et ^ les coordonnées va^ riables du point M, par rapport à ces axes dont la position varie à chaque instant.
•En concevant que le point M et par suite les axes qui passent par ce point soient fixes, ^, yj et ^ se rapporteront à la trajectoire apparente du point m. Or on a d'abord
(l) x = Xi-{-Z, j-=zj,~hr,, z = Zi^î;.
A l'aide de ces équations, si l'on connaît le mouvement absolu de M et le mouvement relatif de m, on a le mouvement absolu de m, et vice versa, si ion connaît les mouvements absolus de M et de m, on aura le mouvement relatif de m autour de M.
Afin de bien concevoir ce mouvement apparent de la planète, imaginons que d'un point fixe K de l'espace on mène des droites K???! , K/n'j , . . . , égales et parallèles aux droites M/??, M'77i', . . ., qui joignent les positions simultanées successives des points M et m^ sur les courbes que ces deux points décrivent. Il est clair que /7/i, 77z'i , . . . , seront les positions apparentes de 77^, telles qu'on les observerait du point fixe M, si RI était en K et que in^ m'^ sera la courbe apparente que décrira le point m.
331 Revenons maintenant aux équations (i) pour en déduire la vitesse de 772 sur la trajectoire apparente. En les différentiant, on a
/ d.T dx^ dÈ, dt dt dt
dy dy, dn
^ ' \ dt dt dt
\ dz dz^ d'Ç
\ dt dt dt '
VfWGT-SïXIEME LECOI-J.
flx dy
dz
^ et -— d'une part, — -' , "-^ et '~ de l'autre, dt dt dt ^ ^ dt dt dt '
sont les composantes parallèles aux axes des vitesses des
points M et 772, à l'instant considéré sur les courbes AMB
, d'i, drt d'C, , ^
et amb. — , -r- et -— sont aussi les composantes paraJdt at dt ^ ^
lèles aux axes de la vitesse du point m sur la trajectoire apparente. Donc cette dernière vitesse pourra être déterminée par ses composantes , au moyen des équations (2), lorsque les mouvements absolus des points M et 772 seront connus. On peut aussi l'obtenir par la construction suivante.
Soient MA et 7726 des droites, représentant en grandeur et en direction les vitesses absolues des points M et 77/.
à l'instant en question. Menons la droite 772 C, égale et parallèle à MA , mais dirigée en sens contraire. Je dis que la diagonale 7?zD du parallélogramme 772 BDG représentera la vitesse apparente en grandeur et en direction. En effet, projetons les trois points 772, D, B en 772', d' et h' sur l'axe Ox. La projection m' cV de 772 D est égale à la somme algébrique des projections des deux autres côlés, ea supposant qu'on parcoure le triangle 772 BD dans le sens 772 BD, et regardant comme positives les projections allant de O vers x et comme négatives celles qui vont dans le sens opposé. Or
dx
Donc
dt
dr, dt
dl ~ dt
ïl suit de là que, sur un axe quelconque, 772D a même
256 COURS DE MÉCAKIQrE.
projection que la vitesse apparente : donc mD reprcsciîte cette vitesse en grandeur et en direction.
En différenûanl les équations (2) par rapport à i, on a
fP.T
dt^
dC-
dl-
cV-r
de
dt-
dC-
dt-
dv
de
A l'aide de ces équations, on démontre comme précédemment que si les forces accélératrices des points IM et ni sont représentées en grandeur et en direction par MA et parmB, et si l'on mène mC égale et parallèle à MA, mais dirigée en sens contraire, la force accélératrice, répondant au mouvement apparent, et qui a pour coni-
posantes — '-1 1 5 sera représentée, en grandeur et
^ dt- dt- de ^ ^
en direction, p?r la diagonale ni\) du parallélogramme
77ZBDC.
Ptéciproquement , si l'on connaissait le mouvement absolu du point M et le mouvement apparent de m, on verrait aisément que la droite mF étant égale et parallèle à MA, la diagonale /?zB du parallélogramme 77zFBD représenterait en grandeur et en direction la vitesse ou la force accélératrice du mouvement absolu du point m.
332. Le centre de gravité du soleil et celui d'une planète sont sollicités par des forces motrices appliquées en sens contraires, suivant la droite qui unit ces deux
.11 > /Mw ,
points, et égales chacune a — ^ — ; en appelant, comme précédemment, M et m les masses du "Soleil et de la planète.
Donc et — — seront Jeurs lorces accélératrices, et il
VINGT-SIXIÈME LEÇON. iSy
résulte de la construction géométrique (331) que
sera, à chaque instant, la force accélératrice qui produirait le mouvement apparent de la planète autour du soleil supposé fixe. On voit que cette force
/fM H- w) p.
en posant
varie en raison inverse du carré de la distance. Par conséquent, la trajectoire apparente de la planète est une section conique et par suite une ellipse, puisqu'elle ne s'éloigne jamais indéfiniment du soleil.
