De la vitesse dans le mouvement curviligne. — Soit
Fig. 77.
M (j^, /, z) un point qui décrit dans l'espace une ligne courbe CMD. Si au bout du temps t la force qui le sollicite cessait d'agir, le mobile prendrait, suivant une certaine droite MT, un mouvement uniforme dont la vitesse est la vitesse du m)bile au point M.
228. Le mouvement du point M est déterminé par trois équations
au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile en fonction du temps.
Les composantes de la vitesse suivant les axes s'obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et l'on aura, dan^; le cas des axes rectangulaires,
àx dy « dz
-r-^fcosa, -f=ccosp, -7- = ccos7, dt ^ dt ^ dt
ds
'-lit'
en désignant par s la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d'un point fixe. Cette dernière formule conviendrait encore si les axes étaient obliques.
229, 230. Quand la force qui agit sur le mobile est variable , les formules précédentes subsistent.
231, 232, 233. Des forces qui produisent Ux\ mouvement DONNÉ. — La force qui produit le mouvement d'un point matériel dont la masse est m , étant représentée par P, et ses composantes par X, Y, Z, on a
m —rr = X , ni — — - = Y, m —rr = Z. tlt^ ' dt' ' dt'
Ces formules montrent que les projections du point mobile sur chaque axe se meuvent comme des points matériels de même masse sollicités uniquement par la composante de la force motrice suivant cet axe. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.
23i. Si X, Y, Z représentaient les composantes de la force accélératrice, on aurait plus simplement
de ~ ' de ~^' de ~
235. Si les coordonnées or, jr, z sont données en fonction du temps, deux difîérentiations feront connaître les composantes de la vitesse et celles de la force accélératrice.
236. Ordinairement on doit résoudre le problème inverse : X, Y, Z sont des fonctions connues de ;, et il faut, pour connaître le mouvement du mobile, intégrer trois équations simultanées.
SUITE d'un mouvement CURVILIGNE d'uN POINT MATÉRIEL.
237. Point assujetti a se mouvoir sur une courbe donnée. — Considérons un point assujetti à se mouvoir sur une ligne courbe donnée AMB et sollicité par la force P. La courbe donnée ou le lien qui force le point matériel à rester sur cette courbe exerce sur lui une certaine action qu'on
appelle la résistance de la courbe, et le point exerce sur la courbe
une réaction ou pression égale et contraire.
Sturm. — ii/e'c, I. 19
ago TABLE ANALYTIQUE
Cette action ou cette résistance de la courbe peut être décom^ posée en deux forces, l'une dirigée suivant la tangente à la courbe, en sens contraire du mouvement, qu'on appelle le frottement, l'autre perpendiculaire à la tangente ou normale à la courbe. S'il n'y a pas de frottement, l'action N de la courbe sur le mobile est alors dirigée suivant une normale. En désignant par >, y-, v les angles que la direclion de la force pormale N fait avec les axes rectangulaires, les équations du mouvement du point matériel seront
m—-^ = X + N cos)>, af
cPy m -jY = Y 4- N cosp. ,
cPz m-jT- = Z + Ncosv.
238. Si le point matériel est assujetti à demeurer sur une surface donnée, on aura les mêmes équations, N désignant la résistance delà surface.
239. Mouvement DES projectiles dans le vide, — Soit A le point de départ d'un point matériel pesant, lancé avec une vitesse a dans
Fig. 82.
la direction AI. Prenons deux axes, l'un Âj vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur, l'autre horizontal A.r, mené dans le plan lA/.
Les équations différentielles du mouvement se réduiront aux suivantes :
d'y de
citmw.—
