GEES VERS DES CENTRES FIXES
L'expression Xdx + Y dy -{- Z dz est toujours une différentielle exacte, quand un point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fixes et dont les intensités sont des fonctions des distances du mobile à ces différents centres. Supposons qu'une iorce dirigée vers le centre fixe K (<?,/, g) repousse un point
DES MATIÈRES. Q.gy
M {x, j, z), avec une énergie R, fonction seulement de la distance MK = r. La partie de Xdx + 1 dj -\- Zdz provenant de cette force sera B.dr.
Si le mobile est sollicité par un certain nombre de forces R , R', R", . . . , dirigées à chaque instant vers des centres fixes K, K', K", . . . , on aura
dim- = 2 ( ± Rf//- ± RV/r r^ . . . ) ,
et chaque terme du second membre étant une différentielle exacte, il en sera de même de leur somme.
La même conséquence aura lieu si l'un des centres s'éloigne à l'infini, c'est-à-dire si la force correspondante est perpendiculaire à un plan donné et fonction de la distance du point à ce plan.
VINGT-DEUXIÈME LEÇON
MOUVEMENT d'uN POINT PESANT SUR UNE COURBE. PENDULE SIMPLE.
277. Mouvement d'un point pesant sur une courbe. — Lorsqu'un point pesant se meut sur une courbe donnée AMA', si le mo-
Fig. 93. bile part du point A sans vitesse, !a
^ ^ vitesse acquise par le mobile au
/^ /l\ point M sera la même que s'il était
qJ I y tombé librement de la hauteur HP.
y / Si B est le point le plus bas de la
nT k^' courbe, le mobile aura la plus grande
jT"^^ vitesse en ce point. Parvenu là, il
2 continuera sa route en vertu de la
vitesse acquise, et s'élevant sur la partie BG avec une vitesse décroissante, il s'arrêtera au point A', pour lequel z = h. Mais aussitôt, sollicité par la pesanleur, il descendra de nouveau sur la courbe pour revenir au point A, et il parcourra continuellement le même arc ABA', tantôt dans un sens, tantôt dans un autre.
278. Le temps employé par le mobile pour parcourir l'arc AM est le même, soit qu'il descende, soit qu'il monte. Les oscillations du mobile sont isochrones.
279. Cas ou le mobile a une vitesse initiale. — Si au point A, pour lequel z — h, le mobile a une vitesse k, le mobile s'élève sur l'arc BCO plus haut que le point A'.
Prenons pour origine des coordonRées le point 0 le plus élevé de la courbe. Nous aurons trois cas à examiner.
Premier cas : k < sjigh. — Le mobile s'élèvera jusqu'à un point C plus haut que A' et qui sera déterminé par l'équation
En' ce point C la vitesse sera nulle; le mobile s'arrêtera pour revenir sur l'arc CBC jusqu'au point C situé à la même hauteur que C, et il fera une infinité d'oscillations isochrones.
Deuxième cas : /•> \/igli. — Le mobile reviendra au point 0 avec la vitesse v//- — igli^ dépassera ce point et parcourra la courbe une infinité de fois, toujours dans le même sens.
Troisième cas : k = \/-i.gh. — Le mobile ne s'arrêtera qu'au point 0, mais il lui faudra un temps infini pour arriver à ce point.
280. Pendule. — Équation du mouvement. — On appelle /;e/2dule un corps solide pesant qui peut osciller autour d'un axe horizontal. Un point matériel suspendu à l'extrémité d'une tige ou d'un fil inextensible et sans masse et dont l'autre extrémité est fixe, forme un pendule simple.
Plaçons l'origine des coordonnées au point de suspension 0 : prenons l'axe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur. Soit AOz — a. L'équation du mouvement sera
acl^
dt — = ='
\/k'^-\-- iga (cosô — cosa)
281. Cas ou l'équation peut s'intégrer. — On peut intégrer l'équation précédente dans le cas où la vitesse du mobile au point A est celle qu'il acquiert en descendatnt sans vitesse initiale du point C le plus haut du cercle.
L'équation se réduit à
rtrZQ
dt = -
\/-j.ga[\-\-C06^)
On
,- tang , . , .
DES MATiÈrvES. 299
formule qui donne le temps que le mobile emploie à parcourir l'arc AM, dans l'hypothèse où il serait parti du- point C, sans vitesse initiale.
Il faut un temps infini au mobile pour remonter jusqu'au point C.
282. Cas des petites oscillations. — En supposant nulle la vitesse du mobile au point A, la formule (280) se réduit à
In dB
dt =
S v/2 cos 9 — 2 COS a En négligeant la quatrième puissance de 9 et de a, on trouve
—- a cos t
- arc cos -7
