CENTRE DE GRAVITE DES SURFACES

72. Soient M (^,7, z), M'(a:+ Ax, j+ Aj, z+Az) deux points voisins pris sur une surface rapportée à trois axes rectangulaires •, soit w l'élément de surface M/TzM'/n' intercepté entre quatre plans, parallèles ~ deux à deux aux plans zOx et zOy.

Quand les accroissements Ao:

et Ajsont infiniment petits, w devient dxdy y^H- p^-^ </%

p el q désignant les dérivées partielles — et — ; on aura

dx dy

donc

(i) w= AxAj (v/7+7m^+ a),

OÙ a représente une quantité qui devient nulle à la limite. Le z du centre de gravité de MmW m' peut être représenté par z -t- S, ê devenant nul en même temps que Ax et Aj-, car ce point est compris entre deux plans parallèles au plan des xj menés par le point le plus haut et par le point le plus bas de l'élément MmM'm'. Dès lorS le moment de l'élément par rapport au plan xOy est

(z + S) Ax Aj ( y/i H- //^ H- ^'4- a)

z <^\ -{- p' H- q^ Ax Aj H- 7 Ax Ay,

y étant une quantité qui s'évanouit avec A.r et Aj. Si l'on décompose de la même manière toute la surface considérée, en appelant 1 l'aire de cette surface et x\, Yi, z^ les coordonnées de son ceniie de gravité, on aura

(2) \z^ = 11.Z y/'i -h/J^4- (f A.r Aj-I- 227AX Aj.

Or, puisque cette équation subsiste, quels que soient Ax et Aj)^, elle sera encore vraie quand ces accroisse-

ments seront infiniment petits. Mais alors lim lly à.x à.r = G,

lim 11 z y/l +yO- H- q"^ ^x ^J =z 1 j z nj i -i- p- -]- q^ d.v ch ; donc enfin

(3) lz,= j 1 zsj\ -^ p''+ q'-dxdy

En opérant de cette manière par rapport aux trois plans coordonnés, on aura, pour déterminer les inconnues .ri, j-j, 2i, les équations

w tenant la place de y/i -h p'^ -h ^^ <^x ^'. On a d'ailleurs

(5) ^'~ I y/i ^p^^g'dxdy.

73. Quant aux limites de ces diverses intégrales, elles sont faciles à assigner. Si

sont les valeurs de y correspondant à deux points qtii, sur la projection du contour de la surface sur le plan xj , ont le même je, il faudra intégrer d'abord par rapport à y^ en considérant x comme une constante, depuis j- = cf [x) jusqu'à j =zt^ (a:). On intégrera ensuite par rapport à x, depuis x ^= a jusqu'à x = Z>, en supposant que

soient les équations des plans menés parallèlement au plan des zj, par les points extièmes du contour, a étant moindre que b.