CENTRE DE GRAVITÉ DES FIGURES PLANES

74. Les formules (4) se simplifient lorsque la surface est plane. Si l'on prend le plan de cette figure pour plan des xy, on aura

clz dz

dx ay

et les formules (4) et (5) se réduisent aux suivantes :

dx dj.

X, — j I X dx dy,

Fig. 28.

[ai

75. C'est ce que l'on peut d'ailleurs trouver directement. En effet, soient y et y' les ordonnées des courbes CD et CD', correspondant à une même abscisse, et posons

On a d'abord

' (j — j')^-«= 1 I dxay. a J a J y

Maintenant si , par les points infiniment voisins M(x, j^) et M! [^x -\- dx ^ y -\- dy) pris sur la surface, on mène HH' et RK' parallèles à l'axe Oy^ on formera une tranche HRH'K' qui différera infiniment peu du rectangle Hïi'I'I obtenu en menant HI et H'I' parallèles à Ox.

Le centre de gravité g de cette tranche est infiniment voisin du centre de gravité du rectangle, et par suite du milieu de HH'. On peut donc, en négligeant des quantités

infiniment petites, prendre x et

pour les coor-

données du centre de graviié de la tranche HKK'H'-, or cette tranche a pour mesure [y — y') dx. Donc son moment par rapport à Oj est {j — y') oc dx, et son moment

par rapport à Ox est - [y'^- — y'^) dx, ce qui donne

Ix,

fJa

y — y')xdx.

formules qui reviennent à celles qu'on a trouve'es plus haut (74).

Cette démonstration pourrait être rendue tout à fait rigoureuse par la méthode des limites.

Fig. 29.