Le calcul de y^ est un peu plus compliqué. On a

ly, = - x'dx=~j-'x-~ xjdf, or

j xy df = \ xy i / dx zz^ I y \/x \/a — x dx

= — -^ys/x{a~xY + ^ 1 {a~x)'d{y\/x)

= — -^y{a — x) \j ax — x^ -V- -^ j (a — xY \Jxdy

2 r. .| rfj?

Mais

1 {a — xY s/xdy = j [a — xy dx=^ ~ ô ('^ — ^Yj / (« — ar)V— ^;^= / [a — x)^dy=~ay'— ^ xydy;

donc

•^■J dy =.— -y{a—x) sjax ~ x- [a —

g«j'— 3 \'^y'iy\

d'où l'on tire, en désignant par c une constante, \ xy dy r=^ c y [^a — x) sjax ■ — x"^

Si l'on fait j:=:o,onaj)'^=o, / xjdj =-. o ^ et, par

suite, c = 7; a^. On a donc enfin o

l > ji = - .rj2 — —ay'^A y{^a — x)\jax — x'^

82. Si l'on veut avoir le centre de gravité de la deniicycloïde ACD, il faudra faire, dans les formules trouvées,

et l'on aura

d'où

CENTRE DE GRAVITÉ DES SURFACES. (Suito.)

Centre de gravité des surfaces de révolution. — Centre de gravité d'une zone sphérique, — d'une zone cycloïdale. — Théorèmes de Guldin. — Volume du cylindre.

CEIVTKE DE GRAVITÉ DES SURFACES DE BÉVOLtJTIOK.

83. Considérons la surface engendrée par la révolution d'une courbe plane CD, tournant autour d'un axe Ox situé dans son plan. Prenons cette droite pour axe des abscisses et pour axe des ordonnées une perpendiculaire à Ox située dans le plan de la courbe.

Le centre de gravité de la surface est évidemment sur Ox. On n'a donc qu'à déterminer son abscisse OG = Xi. Soient M [x^j) et M' [x -h rix, j -+• dy) deux points infiniment voisins pris sur la courbe. On peut regarder la surface engendrée par la révolution de l'arc infiniment petit MM' = ds comme celle d'un tronc de cône dont l'aire est alors iTiyds'^ donc si S est la surface engendrée

par CD, on aura

dS s:^ "Ztz y ds,

d'où

(i) s =:27r lyds.

=,.jj

D'ailleurs le moment de l'élément de surface fl?S, par rapport à un plan zOy perpendiculaire à Ox, est ivixyds'^ car x est l'abscisse du centre de gravité de

l'élément à un infiniment petit près; le moment de la surface totale est S j^j : donc

Sx,

ay ds.