r - un r

= -ô ^I \l-'^' -^ ^ \ [n —xY dx — ~ 1 (^ — '^Y ^^•

En eflectuant ces dernières intégrations et déterminant la constante arbitraire par la condition que Sxi soit nul pour :»' = o, on aura

j Tzxy siax -\ tt « \a — x)

-T.siaia — x] — -f-zT:a'',

d'où l'on déduira X].

87. Si l'on veut avoir le centre de gravité de la surface engendrée parla demi-cycloïde, il faudra faire

ce qui donnera

S = "iTza? 1 77 -

d'où

THÉORÈMES DE GULDIN.

88. Soient CD une courbe plane, / sa longueur et g (-^n J'\) son centre de gravité; ds étant la différentielle de cet

Fig. 37.

arc, on a

Maintenant, si S est l'aire de la surface engendrée par la révolution de CD autour de Ox, on a

S = 2 TT \yds\ on aura donc

d'où l'on conclut ce tlicorème :

La surface engendrée par la révolution d^une courhe plane autour d'un axe situé dans son plan, a pour mesure la longueur de la courbe niultip liée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

89. Si la courbe, au lieu d'accomplir une révolution entière, ne tournait que d'un angle ô, en appelant S' Faire engendrée, on aurait

d'où

Or 5j^j est l'arc décrit par le point g : on peut donc

58 COTJRS DE MÉCANIQUE.

dire aussi que : La surface engendrée par une courbe plane tournant d'un angle quelconque autour d'une droite située dans son plan est égale à la longueur de la courbe multipliée par Varc que décrit son centre de gravité.

90. Soit CC'D'D une surface plane comprise entre deux courbes CD, CD', et deux droites CA, DB perpendiculaires à 0.r; soient G (xi,yi) le centre de gravité de cette surface, et \ son aire; on aura

les équations des deux courbes CD, CD' étant

jr=.^(.r), j'-=o,{.r).

Soit V le volume engendré par la révolution de l'aire X autour de l'axe Ox situé dans son plan, on a

Fig. 38.

Vr=7r|(.j=— j'^)r/^;

donc

Ainsi, le volume engendré par la ré^'olutioji d^ une aire plane autour d'un axe situé dans son plan est égal à Vaire de la surface génératrice , multipliée par la cirférence que décrit son centre de gravité.

91. Si l'aire n'accomplissait pas une révolution entière, le volume engendré serait égal à l'aire \ multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité de l'aire.