CENTRE DE GRAVITÉ DES VOLUMES

Centre de gravité du cône. — Centre de gravité du secteur sphérique. — Centre de gravité des solides de révolution. — Corps dont le centre de gravité s'obtient par une seule intégration. — Volume et centre de gravité d'un corps quelconque.

CEIVTRE DE GRAVITÉ DU cÔlVE.

97. Soit OIL un cône quelconque à base plane IL et posons OH := h. Soient OP = x, OP' ^= x -}- dx, les dis- Fig. 44. tances au point O de deux sec-

lions planes , infiniment voisines et parallèles à la base.

Nommons u l'aire de la section // et b celle de la base IL. On peut considérer la tranche ilV i' comme un cylindre ayant pour base u et pour liau-

b.r'' leur dx. Ce vokime sera donc u dx, ou -jj- dx à cause de

l'égalité

ji h

? ~ /^* Par suite, on aura pour le volume du cône

h' ou

Appelons maintenant x^ la dislance du centre de gravité du cône à un plan parallèle à IL mené par le sommet. Le centre de gravité de la tranche infiniment mince iW l' h. ce même plan est x, en négligeant des quantités infini-

ment petites. On aura donc, en prenant les moments par rapport à ce même plan,

Jo J o

donc d'où

D'ailleurs le centre de gravité du cône est sur la droite O^^, menée du sommet O au centre de gravité de la base IL, puisque les centres de gravité de toutes les tranches sont sur cette droite; par conséquent le centre de gravité d'un cône à base quelconque est sur la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base et aux trois quarts de cette droite à partir du sommet.

98. Eu appliquant ce théorème à la pyramide triangulaire, on démontre aisément que le centre de gravité d'une telle pyramide est le même que celui de quatre poids égaux appliqués à ses sommets, et, par suite, que la distance du centre de gravité à un plan quelconque est le quart de la somme des distances des quatre sommets à ce plan.

CENTHE de GUAVrTÉ DU SECTEUR SPHÉEIQUE.

99. On peut concevoir le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur circulaire BOA autour de OA, comme décomposé eu une infinité de pyramides triangulaires équivalentes, dont les bases seraient les éléments triangulaires iijfiniment petits de la zone, base du secteur sphérique.

Or les centres de gravité de tomes ces pyramides se trouveront uniformément distribués sur la zone décrite par la

révolution de A'B', arc dont le rayon OB' = -j OB. Donc

îe centre de gravité du secteur spbérique coïncidera avec le centre de gravité de celte zone. Ce point sera donc !e point G situé à égale distaiiCe de A' et de D', D' étant le point où la corde de l'arc B'A'C rencontre OA.

Si Ton désigne par /• le rayon de la sphère et par a l'angle AOB, on aui a

OD' -1 y OD = ^rcosa, 4 4

OA' 3 . , ■ = ô ''(^ + cosaj,

OU bien

OG = -y rcos' - a.

Ainsi on obtiendra le point G en projetant le point A' sur la bissectri( e de Tangle AOB, et en projetant celle projection sur OD.