CENTRE DE GRAVITÉ DES SOLIOES DE RÉVOLUTION
Soit CDC'D' une surface plane comprise entre deux couibes CD, CD' et deux droites parallèles CC, DD'.
Supposons que cette aire tourne autour d'une droite Ox, située dans son plan et perpendiculaire ' à ce. Considérons la bande in-
finiment mince MNM'jN' limitée aux deux courbes CD et ÇJ\y et aux deux parallèles infiniment voisines PM
Stcrm. — Méc'., I. 5
ig-
Vf
et QN. Soient
Le volume engendré par MM'NN' peut être regardé comqie la difîerence de deux cylindres ayant pour hau^ îeur commune dx, et pour bases les cercles décrits par les droites PM et PM' : ce volume sera donc
et si V est le volume total, on aura, en posant OA = a,
{x'-f')dx.
Pvlainienanl x étant Fabscisse du centre de gravité du volume engendré par MM'N]N', le moment de ce volume, par rapport à un plan perpendiculaire à Ox, mené par le point O, sera t:x[j^ — j''^) dx. Donc si x^ est l'abscisse du centre de gravité que l'on cherche, on aura
(2) Yxi — ttJ ij'^—j'-)xdx^
égalité qui fera connaître Xi.
CORPS nOWT LE CENTRE DE GRAVITÉ s'oBTIENT PAR UNE SEULE INTÉGRATION.
101. On peut obtenir par une seule intégration le centre de gravité d'un corps lorsqu'il est décomposable en élénients infiniment petits, ayant leurs centres de gravité en ligne droite.
Considérons, par exemple, un segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles AL et BM.
f\lenons parle centre O de l'ellipsoïde un plan zOt-,
parallèle à ces deux plans 5 soient Oy, Oz deux diamètres conjugués de la section ainsi obtenue, et Ox le diamètre conjugué à ce plan diamétral. Le diamètre Ox passera par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à zOy, puisque ces centres de gravité sont les centres de toutes ces ellipses.
Or la, 2Ô, 2C étant les longueurs des trois diamètres conjugués, l'équation de l'ellipsoïde sera
On peut concevoir le segment ALBM comme formé d'une infinité de tranclies infiniment petites, limitées par des plans parallèles à zOy. Soit PPtP'R' une de ces tranches, telle que OP = x, OP' = x -h dx. Le volume de cette tranche dilïérera infiniment peu de celui d'un cylindre qui, ayant l'ellipse PR pour base, aurait pour hauteur la distance entre PPi et PPi'. Or l'équation de l'ellipse PR est
et par suite son aire est
t: bc { I 7 ] sin9,
0 étant l'angle zOj. D'un autre côté, X désignant l'angle que le diamètre Ox fait avec le plan diamétral zOj^ dxs\ï\\ est l'épaisseur de la tranche; le volume de cette tranche sera donc
TT èc sin ô sin A I I -\ dx.
Par suite, jr = a, x = ^ étant les équations des plans ALj BM, le volume V du segment sera
Troc sinô sin>i C^ , V= ^ I {a'~x^)dœ,
68 COURS DE MÉCAKIQUE.
ce quî donne, en intégrant,
7r^<:' sin 9 sin'X ,^ ,,^„ „ . „,,
Maintenant le centre de gravi lé G du segment ALBM est sur le diamètre Ojr, et comme l'abscisse du cenirede gravité de la tranche infiniment petite dillère infiniment
peu de X,
^csinSsin). , ,v ,
TT [a^ — x-j X cix
sera le moment de cette tranche par rapport au plan zOy et à la diieclion Ox. D'un autre côté, si OG=Xi, Va^i sera le moment du segment. On aura donc
7r/;c sin9 sin\ C ^ ■ n o »
V JTi ::;= î [a- — x^ \xax
ou
Tzhc sin9 sin> ,, , , „ „ „,n
Vx, = -. [i^— aM 2«2 — a=— S2),
d'où, en divisant par V,
3(a + 6U2«^— a==— BM
4(3«^— a^— ap— p)
On doit remarquer que Xj ne dépend ni des diamètres 2^» et ic, ni des angles 6 et X, en sorte que cette jormule donne immédiatement l'abscisse du centre de gravité d'un segment sphérique dont le rayon est a et dont a et (3 sont les distances des bases au centre de la sphère.
CEKTRE DE GRA.VITÉ d'cK CORVS QCELCORQUE.
102. Siippo ons le corps rapporié à trois axes rectangulaires Ox, O } , O^. Si l'on mène une infinité de p.lans parallèles au plan xOj, on partagera le solide en une
SfPTlÈME LFÇON. 6g
infinité de tranclies dont les bases seront parallèles à ce plan; en menant des plans parallèles au plan zOx, on F'S- 48- décomposera chaque tran-
che en une infinité de petits /r-71 filets prismaticfues ayant
^'^—y toutes leurs areies pei pen-
. diculaircs au plan ^O}'', et
,/ enfin au moyen de plans pa-
^ rallèles au plan sO/, cha-
cun de ces filets se trouvera partagé en une infinité de parallélipipèdes infiniment petits dans toutes leurs dimensions.
Soient M (.r, j", z) et M' (x -h clx^ y -|- dy^ z + dz) deux sommets opposés d'un de ces pai aililipipèdes infiniment petits. Son volume sera djcdydz, et par conséquent, si V est le volume du solide tout entier, on aura
'■> '=nf
dxdjdz.
Si le corps est homogène, cette intégrale triple pourra être considérée comme représentant le poids du corps. Si le corps n'est pas homogène, le poids de l'élément MM' sera représenté par pdxdydz et le poids du solide entier P par la formule
(2) V= f i pdrdjdz,
p désignant la densité du corps au point {jc,y, z). On suppose que p est une fonction continue des coordonnées, fonction cjui peut être considérée comme ayant sensiblement la même valeur dans toute l'étendue d'un élément infiniment petit.
^ oici maintenant comment on devra effectuer l'intégration indiquée. L'équation de la surface du corps donne, en général, pour un système de valeurs de x et de y., deux valeurs de z : so\enlf[x\ y) la plus petite, et F {■^,y) la plus grande de ces valeurs. On commencera
par clierclier l'intégrale
I Pf^3,
en regardant x et y comme des constantes-
Imaginons maintenant que, de Téquation de la trace sur le plan des xy d'un cylindre parallèle à O^ et circonscrit à la surface du corps, on tire
j=ry(.r), j = <î>(.r),
la première étant la plus petite et la seconde la plus grande des valeurs de y qui correspondent à une valeur attribuée à x. En regardant x comme une constante, on cberchera l'intégrale définie
Jf(x) Jf{x,f)
Enfin
étant les équations de deux plans parallèles au plan zOj, l'un mené par le point le plus rapproché, l'autre par le point le plus éloigné de ce plan sur la surface du solide,
on aura
r*h pi{x) /•F(t,:>-)
(3) P= d.v df pdz.
Ja Jtfix) Jf{x,r)
103. Pour trouver maintenant le centre de gravité [Xi^ji^ z^ du solide, observons que xpdV, y pd\, z pclY seront les moments du parallélipipède MM' par rapport aux. plans coordonnés, en regardant x, y, z comme les coordonnées du centre de gravité de ce parallélipipède. On aura donc, d'après le théorème des moments,
P.r, = / 1 1 .rpdY,
(4) lvj^=JJJjpdY,
..^Jfjj.,d,,
Si le corps était homogène, le facteur constant p pourrai t
p sortir du signe d'intégration et, en remplaçant - par V,
on aurait
Y z,= f f fzdV.
^-fff-
Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour l'intégrale qui représente le volume
rjl COURS DE MÉCANIQUE.
VOLmiE ET CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS RÂPFORTÉS A DES COORDONiNÉES POLAIRES.
Coordonnées polaires. — Poids et volume d''un corps rapporté h des coordonnées polaires. — Coordonnées polaires du centre de gravité. — Limites des intégrales qui entrent dans les formules précédentes. — Application.
COORDONNEES POLAIRES.
iOi. Soient z = MP, y = PQ, x — OQ les coordonnées rectangulaires d'un point M. Ce point peut être dépj„ ^ terminé par sa distance OM = r
à un point fixe O, par l'angle MOo: =: 0 que fait le rayon vecteur OM avec l'axe fixe Ox, enfin par l'angle MQP = t|> que le plan MOx fait avec le plan fixe xOj'-. Les (juantités /', 0, ^ sont dites les coordonnées polaires du point M.
On voit que les coordonnées polaires déterminent le point M par l'intersection de trois surfaces, savoir une sphère décrite du point O comme centre avec /' poui* rayon : un cône de révolution dont 0.r est l'axe et dont la génératrice fait avec l'axe un angle 0; enfin un plan passant par Ox et faisant un angle i^ avec le plan xOr-
lOo. Les formules propres à passer des coordonnées rectangulaires x, j, z aux coordonnées polaires /', 6, 'i^ se tirent immédiatement de la considération des triangles MOQ et MPQ, qui donnent
■ = rcos9, Vi^ - ^
(l) ^ j :=^ rsinS cos-i(, "" '
z = rsinS sinij;.
HUITTÈME LEÇON. ^3
iOG. Inversement, pour passer du second système au premier, on aura les formules
=3 % \Jx- + j'^ H- z"
CCS 0
\Jx^ -h j^-\- z-
POroS ET VOLUME DES COr.PS lîAPPORTÉS A DES COORDOKNÉES POLAIRES.
107. Soit M (/', 0, ^) un point pris dans Je corps considéré. Décrivons dans le plan MOx et du point O comme ce?itre deux arcs de cercle MI et LK, avec les rayons OM = 7' et OL = 7- H- A/', terminés à la droite OR telle que LOK = A9.
Si l'on imagine Cjue le quadrilatère plan IMLK tourne autour de Ox d'un angle /l<p et vienne en FM'L'K', nous obtiendrons un petit solide MK'que nous prendrons pour l'élément du volume total. D'après le théorème de Guldin (90), MK' aura pour mesure l'aire IMLK multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité G de cette aire. Or
IMLK
ou bien
