OKL — OMI

fr-f Ar)'à9

IMLK

r + - Ar) ArA9.

D'un autre côté, si u est la perpendiculaire GH abaissée du point G sur l'axe Oj:, l'arc décrit par le point G sera égal à uA<^. Mais le point G étant compris dans Tinté-

74 COUUS DE MÉCANIQUE.

rieur du quadrilatère IKLM, peut devenir aussi voisin que l'on voudra du point M en prenant AQ et A^p assez petits. Par conséquent, GH différera peu de la perpendiculaire MQ =: 1' sin 9 abaissée du point M sur l'axe Ox : on aura donc

(i) • u^= r sin 9 H- a,

a désignant une quantité qui tend vers o en même temps que Ar et A0; et par suite

(2) AV= (/-sinS + a) (r H- - Ar J A/-A6A'^ =

Mais si l'on appelle p la densité du solide au point M, jO -h D sera la densité moyenne de l'élément de volume AV, ê devenant nul à la limite. En appelant AP le poids de cet élément, on aura donc

AP= (pH-g) AV et par suite

(3) AP = (p -f-6) (rsinQ + a) (r H- - AH ArA9 Ai}^.

De là on conclut, en désignant par y un infiniment petit,

P= Spr^sinQArAQA-A + 27ArA6Ai|>.

Or, si l'on suppose les accroissements Ar, A0, A(]; de plus en plus petits, on a

limSYAT-AQAi!» = o,

lim 2|3r= sin S A/'A 9 A.}/ = 1 / j pr'' sinOdrdQd-^, Donc

(4) P= / / I prHinQdrdQd-^,

relation que l'on aurait pu obtenir plus rapidement par la méthode des infiniment petits.

Quand le corps est homogène, p est une constante qu'on peut faire sortir du signe d'intégration, et si l'on observe

HUITIEME LEÇON. HÛ

que - est égal au volume V du corps, on aura P

BdrdQd-\i.

COORDONNÉES POLAIRES DU CENTRE DE GRAVITÉ d'uN CORPS.

108. En posant dV = pr'^ sinO drdQ d^^i^ un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire nous donnera, pour les moments du solide par rapport aux trois plans coordonnés, les intégrales

^./P, ffljdP, f f fzdP,

et comme ces moments sont aussi égaux à Pxj, P/i, P^i, on aura finalement, ^jour déterminer les coordonnées rectangulaires du centre de gravité solide, les formules

suivantes :

/^ /^ /« (4) P= 1 I I pr's'mOdrdQd'^,

iPjT, = / / 1 p r^ sinOcosQ drd 9 d-h, ^^j Pji= / / I pr^sm^'Ocos■lldrdQ d-l,

I PZ| =: I / I pr^sin'QsiniL «iz-f/ô^'^.

On obtiendrait ensuite les coordonnées polaires pi, 0i, ç|^i, du centre de gravité à l'aide des formules du n° 106.