Si le point attiré est extérieur, la différentielle

— ne devient pas infinie dans les limites de 1 inlégra-

tion. On peut donc appliquer les règles de la différentialion «ous le signe à l'intégrale définie

dm

d^l d^-l. d^r a II a

'^'\d^-^d¥^-df,

et Ton

en tirera

Mais à

cause de

u = ^/ [<x — xy -{- [^ — jy + (7 — zy

on a

dl

doL

'—ii\

da}

• 88 COUr.S DE MÉCANIQUE.

On conclut de cette dernière égalité

U il u

^^^ ~J^ "^ ~~d^' ~^ ~df

Le second membre de l'équation (2) est donc nul, et l'on a

427. Si le point attiré est intérieur, on part des formules (6) du n° 1205 en les différentiant on a

ou, en vertu des formules (3) du n'' 124,

d^-y d^v d^Y cl r r r , ^^ ,^ ^,

^ + -Jo^ -^-df=d-JJ Jp-osgsrnBdudOd^^^

-\ — — I / I p cos/^ sin 0 dadO d-^

•4- — I / I p CCS A sin 9 rZa dOd'j.

Si Ton effectue les différentiations en appliquant les règles relatives au cas où les limites d'intégration soût variables, on trouve X

d'-Y d'Y d'Y dor do- âf-y^

= / / i ûn^du dO d-\> ( cos à"" 7^ + cos /^ ^r^ + ces '^" — )

+ / / p2Sin9û?9rf''/ cosg'— f- cos /<-—- + cos Â- — >

J J \ dx f/S r/7/

jOa et R désignant les valeurs de /j et de m à la surface. On

NEUVIÈJIE LEÇON.

a d'ailleurs

^P , „^. ;. "^P j .„. /, 1p ^ - .Jj^'-iL

COSg -r^ H- COS/i -7^ + COSÂ -V- =; -;-?

COSg'

Par conséquent

+ cosA -7^ + cosA- -^ = — I- - -T"

dot? di

sin 9 d^ d-^ -j- du

Mil'

— 1 / pjsinôt/Q d-^

Mais si l'on désigne par pi la densité du corps au point O,

on a

sin Q dO d-!^ -— dii^:^i

ip2-p,

sin9 J3

donc

Jf*7t

:= — 47rp, + 1 I P2 sin Si/ 6 <:/■].• ;

4'^pi-

2^ ^^. .«'/^.-^^T^-if ^'^^ ^ ^^ ^-^^^ ï^^-^/ '

(ééi ^/ - i?"-'^ ., y^ -- -c^y-- #^^

rc^-v- ^ ^^^ - -^^--'^

go COUKS DE MÉCANIQUE.