Proposons-nous de trouver l'attraction de l'ellipsoïde

sur un point intérieur (a, ê, y).

Pour avoir la valeur de Pi, il faut faire

l JC =: a. -\- u cosg,

(2) <j' = S + « CCS h, { z z=y -+■ MCOsA-,

dans l'équation (i), ce qui donne

(3) pu^ + 2(7« =: /,

en posant

cos^ g cos^ /i cos' k

a coSjî^ êros// •y^'OSÂ-

On tire de l'équation (3)

DIXIÈME LEÇON. Ql

Comme p et /sont positives, on a deux valeurs de m, l'une

— O -1- Jq' -\- pi 1, / .• vi

positive, qui est — — —^ 1 autre négative, qu il

faut rejeter, car le rayon vecteur est une quantité positive, sa direction étant déterminée par les angles g-, /î, /i, qui peuvent être aigus ou obtus. On prend donc

et l'on a, en intégrant par rapport à u la première des formules (3) du n° 124 et en omettant le facteur constant/^/up,

A = — I 1 R cosg- sin 6 r/e d^

ou

(4) A =Jf'^ "^'p "^ ^^ ^"^g ^^" Q ^ Q '^^^

et de même

(5) B=: M 1 vV:tZ^cos/^smÔ^9^4.5

(6) C^^ff^ ^^"^'^^'^ cos/.smOdQd^.

129. On peut supprimer le radical Vv^- pi dans ces formules. Par exemple, la partie

qui entre dans la formule (4), est nulle, car si l'on considère un élément de l'intégrale double correspondant à vine certaine direction (0, t^) du rayon vecteur, puis l'élément correspondant à la direction opposée (tt — 0, t: H- 'J^), cosg^ ou cos9 changera de signe sans changer de valeur en passant du premier éh;mcnt au second; il en sera de même de sint|^ et cosi]^-, quant à sin0, il ne changera pas,

de sorte que les deux éléments, élant égaux et de signes contraires, se détruisent. La valeur de A se réduit donc à

A— / 1 -cosgsinQdQd-^j ou, en remplaçant q par sa valeur (128),

A=— / / ^ smQ dBd-h -h ^ / — ~ sinQ dB d-h

| jL / i 1 smBdBd^.

130. En prenant deux éléments pour lesquels 0 ait deux valeurs supplémentaires tandis que ^ sera le même, ou, ce qui revient au môme, deux éléments qui répondent à des valeurs supplémentaires de g et aux mêmes valeurs de h et de A', on voit que les deux dernières intégrales sont composées de parties qui se détruisent deux à deux, et A. se réduit à la première intégrale. Une simplification analogue aura lieu dans les valeurs de B et de G. Ou aura donc

a. C C cos'^ . ,, ,.

cos^/^ ,

sm9 dB d-!^ ,

C = -^ I / sm9d0d-^,

ou, en remplaçant p, cos^, cos/^, cosA" par leurs valeurs (124),

/ r r ^'c-cos=9sin9c/9r/'i

b- c- cos' 9 -\- a- c- cos^ -^ sin^ 0 -h a^ b- s>ia^ -^ sin^O «^f-sin^9 cos^-i|' dQ d-h

18) |b.-s ta • , ■ -

1 J J b-c^cos-Q-i-a^c^cos^-^sin^Q-ha'-b'Sin^-^sin^G

a^b- s'in'Q sin-i!;r/9 d-h

\ J J 6^c^cos^9H-«*c^cos^i|*&iii^9H-a-^^sin-isin''9