CONSÉQUENCES DES FORMULES PHÉCÉDENTES
i31 . Avant d'effectuer les intégrations, on peut déduire de ces formules plusieurs conséquences.
i** Tous les points situés dans un même plan perpen- .^=^ diculaire à un axe sont également attirés dans le sens de ' cet axe, et les composantes de Taltraction sont proportionnelles aux distances du point attiré aux trois plans principaux de rdlipsoïde. Par conséquent, cette attraction reste parallèle à une même direction pour tous les points situés sur une ligne droite passant par le centre, et elle est proportionnelle à la distance du point attiré au centre.
2" On a
-=/ I sine^0<r/i|^=z:4î7
et
rlA dB dC .
cas particulier de la formule (7), n° 127, r/2V ^=V d^'V
3° Les valeurs des composantes A, B, C ne renferment que les rapports des axes derellipsoïde; elles reslentdonc les mêmes quand ces trois axes varient proportionnellement, c'est-à-dire deviennent Jia, nb^ ne. Donc une couche homogène comprise entre deux surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées (homothéiiques), n'a aucune action sur un point placé dans l'espace vide intérieur, et par conséquent l'action d'un ellipsoïde sur un j)oint de sa propre masse se réduit à celle de la partie de ce corps qui est terminée par une surface concentrique et semblable à la sienne et passant par le point donné.
g4 COTJUS DE MÉCANIQUE
SUITE DE L'iIifTÉGIlATION DES FORMULES DANS LE CAS DE l'ellipsoïde.
132. Comme la fonction sous les signes / I dans les formules (8) ,
&2c'cos'9sin9rf0<^^j>
cos^Q 4- a-c^ cos-->{/ sin-S ■+- a'^ b'^ sin- -h sin^Q '
a^c'^ sin'9 cos^t{^ d9 d-h b'^c^ cos'^B + fl^c^cos'i]; sin-9 + a'b^ sin'-ij; sin^S
a'' b'^ sin^ 9 sin- -^dQd-^ cos^ 9 + a- c^ cos- -i sin-' 9 + «^ 6^ si n'^-h sin^ 9 '
a la même valeur pour deux valeurs de 9 supplémentaires et pour des valeurs de ^ telles que çp, tï — cp, tï -\- c{i,
211 — ■ cp, il suffira d'intégrer par rapport à 0 de zéro à -
puis de doubler le résultat; et par rapport à J>, de zéro
à - en cjuadruplaut le résultat. Occupons-nous d'abord
de la valeur de A. En mettant les limites en évidence, on
TT
A = Sb^c'o!. I cos'9sm9d9
b^ c- ces- 9 H- a'^ c' ces- 1{< sin' 9 -+■ a^ b^ âin^ 4* ^^^^ ^
Posant
tang -^ = t,
d'où
dt . idé = =j sin-iL = ; j cos^-ii
on a
2 d-îj
g b'c'cos^Q
dt
g c^ (é^cos^S + a^^sin'9) + 6^ (cU-os'^e + «'sia^ô) ^^
