VITESSE DANS LE MOUVEMENT VARIÉ

J5o. Il résulte de ce qui précède que tout point matériel doué d'un mouvement varié rectiligne ou d'un mouvement curviligne doit être sollicité par une ou plusieurs forces, sans quoi son mouvement serait uniforme. Comme l'espace parcouru par le mobile n'est pas toujours le même dans des temps égaux, la définition que nous avons donnée de la vitesse n'aurait pas de sens dans ce cas. Pour concevoir ce qu'on entend alors par vitesse, imaginons que la cause ou force qui produit le mouvement cesse d'agir à un instant déterminé : le point continuera à se mouvoir dans la direction d'une certaine droite et son mouvement sur cette droite sera uniforme. On appelle vitesse d'un mobile au bout du temps f, la vitesse du mouvement uniforme qui succéderait au mouvement varié si, à cet instant, la force motrice cessait d'agir.

156. Quand le mouvement n'est pas uniforme et rectiligne, la vitesse varie à cbaque instant et d'une manière continue, soit en grandeur, soit en dii^ection. En effet, l'observation prouve qu'il n'existe pas de force qui puisse, dans un instant indivisible, clianger brusquement la grandeur ou la direction de la vitesse d'un corps ou imprimer subitement une vitesse finie à un corps en i^epos.

On a pendant longtemps distingué deux espèces de forces ; les foj^ces continues, comme la pesanteur, agissant sans interruption sur le mobile pendant un temps fini, et

DOUZIÈME LEÇON. Il3

les foTces instantanées qu'on supposait capables d'impriraer subitement à un corps en repos une vitesse finie ou de changer instantanément la vitesse ou la direction d'un corps en mouvement; mais par l'observation attentive des phénomènes on reconnaît que ces dernières forces n'existent pas dans la nature, et qu'une force ne peut changer d'une manière sensible la grandeur et la direction delà vitesse qu'en agissant pendant un certain temps qui est quelquefois assez court povir n'être pas appréciable. On s'accorde aujourd'hui à n'admettre que des forces continues.

157. Soit M un point matériel qui se meut, d'un mouvement varié, sur une droite Ox. Appelons x la dis- Fig. 60. tance OM de ce mobile à

0 M r.r un point quelconque de la

direction Ox^ eX. t le temps compté à partir d'une époque quelconque, temps au bout duquel le mobile est en M; soit t^ la vitesse inconnue qu.'il possède à cet instant. Nous allons faire voir que

clr " = -01'

On peut d'abord démontrer ce théorème par la considéralion des infiniment petits. En effet, supposons le mobile arrivé en M au bout du temps t. Pendant l'intervalle de temps infiniment petit dt qui succède au temps f, le mobile parcourt l'espace infiniment petit MM' = dx^ et sa vitesse varie infiniment peu (I06), de sorte qu'on peut regarder le mouvement du mobile de M en M' comme uniforme. On a donc

cItc dx=zçdt ou (^ = — • dt

i58. On peut établir rigoureusement cette formule par la méthode des limites. Supposons qu'après le temps t le mobile parcoure pendant l'intervalle de temps Ht

Sturji. — Méc, I. 8

Îl4 COURS DB MÉCANIQUEc

J'espace MM' = Ax. On pourra toujours prendre le temps Af assez court pour que, pendant ce temps-là, la vitesse du mobile soit contiuuellement ci^oissante ou décroissante. Supposons-la croissante : u étant la vitesse du mobile au point M, désignons par i^' sa vitesse quand il arrive au point M'. L'espace Ax parcouru par le mobile pendant le temps At doit être évidemment plus grand que l'espace p-Af qu'il parcourrai t. s'il se mouvait uniformément pendant le temps At avec la vitesse v qu'il a au commencement de ce temps, puisque u est sa plus petite vitesse pendant le temps At. Ensuite Ax doit être plus petit que l'espace i^' At que parcourrait le mobile s'il se trouvait avoir la vitesse constante u' qu'il a au bout du temps Af et qui est sa plus grande vitesse. On a donc

^>^t<i^x<:i('' At, d'où

A.r ^ Af ^

Si Af tçnd vers zéro, u' se rapproche indéfiniment de u

qui ne change pas 5 — se rapproche donc aussi indéfiniment de u, de sorte que l'on a

Ar dx A ; dt'