PRINCIPE DES MOUVEMENTS RELATIFS
164. Il existe une relation entre l'intensilé de la force qui sollicite un point matériel et la variation de vitesse que cette force produit. Cette relation se déduit d'un principe qu'il ne paraît pas possible de démontrer à l'aide du seul raisonnement, mais auquel on a été conduit par une multitude d'observations et d'expériences, principe qui est vérifié par l'accord constant des conséquences qui s'en déduisent avec les phénomènes observés. Ce principe consiste en ce que si des points matériels M, N, P... se
Fig. 62. meui^ent dans [^espace suivant
Q, des droites parallèles, ai^ec une
^ntesse constante ou 'variable, mais qui soit la même pour tous à chaque instant, de sorte qu'ils paraissent ne pas se déplacer les uns par rapport aux autres, si Vun des points, M par exemple, vient à être sollicité par une certaine force, le moui>ement relatif du point M à regard des autres points sera le même que le mouvement absolu qu aurait ce point M si le mouvement commun n'existait pas et que le point jM partant du repos Jût encore sollicité par la même force.
tl8 coulis DE MÉCAIV'IQUE.
C'est ainsi que sur un bateau transporté d'un mouvement rectiligne et uniforme, ies mouvements relatifs que nous imprimons aux corps transportés avec nous sont les mêmes c[ue si le bateau était en repos.
Mais cette loi de la nature ne peut être soumise à aucune expérience directe et rigoureuse. Elle est vérifiée par l'accord des conséquences qu'on en tire avec les faits observés, surtout en Astronomie.
165. Il résulte d'abord de ce principe que si un point matériel animé d'une vitesse acquise vient à être sollicité par une force dirigée dans le sens même de son mouvement, cette force lui communiquera, après un temps quelconque, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse qu'elle lui imprimerait s'il partait de l'état de repos.
En effet, soit un point matériel M se mouvant uniformément sur une ligne droite avec une vitesse p*. Dans un temps quelconque 0, succédant au temps i, il parcourra un espace w9 si aucune force n'agit sur lui. Mais supposons que, pendant le temps 0, il vienne à être sollicité par une force P dans le s'ens de son mouvement. Désignons par I l'espace que cette force ferait parcourir au point M s'il partait du repos, et par u la vitesse qu'elle lui im-
primerait au bout du temps 9, vitesse égale à — (458).
Alors le point M, animé de sa vitesse acquise u et sollicité en outre par la force P^, parcourra pendant le temps d un espace égal à vQ -+- ^. Car si l'on considère d'autres points sur la même droite Oj: ou en d(4iors, se mouvant uniformément avec la vitesse t', chacun d'eux parcourra dans le temps 9 l'espace t^ô. Or, en vertu du principe des mouvements relatifs (164), le point M, auquel seul est appliquée la force P, doit, au bout du temps 9, précéder les autres points dans le sens du mouvement d'une quantité égale à l'espace l que la force lui ferait parcourir s'il était d'abord
en repos. Le point M parcourra donc l'espace P'Qh-^ dans le temps 9, et sa vitesse sera
Ainsi la vitesse v se trouve augmentée par l'action de la force P de la quantité li, c'est-à-dire de la vitesse que la force P imprimerait, après le temps 0, au mobile pris d'abord à l'état de repos.
On voit de même que si le point mobile, animé d'une vitesse v^ est sollicité par la force P en sens contraire de son mouvement, sa vitesse diminuera de la même quantité u et deviendra v — u au bout du temps 0. Ainsi le changement de vitesse produit par une force qui vient solliciter un point en mouvement est indépendant de la vitesse précédemment acquise.
EFFET d'uWE force CONSTAîSTE SUR UN POINT MATÉRIEL.
166, Supposons maintenant qu'une force P, d'intensité constante, agisse d'une manière continue sur un mobile. H résulte de ce qui précède qu'elle devra augmenter ou diminuer sa vitesse de quantités égales en temps égaux. En effet, soit u la variation de vitesse produite par celte force dans un premier intervalle de temps 0, v -\- u sera au bout de ce temps la vitesse du mobile. Mais au bout d'un second intervalle de temps égal à 9, sa vitesse devra être v-\-u-^iL ou v -\- o-ii-^ par la même raison, au bout d'un troisième intervalle de temps 0, sa vitesse est p» -h 3 u^ et ainsi de suite.
Soit a la vitesse que possède le point mobile à l'instant où la force commence à agir sur lui, et soit ^ la vitesse que la force imprimerait à ce point au bout de l'unité de temps, s'il était d'abord en repos. Alors le mobile, au bout du temps /, aura la vitesse a + g£ ou a — ^f, suivant que la force constante agira dans le sens de la vitesse
120 COUHS DE MÉCANIQUE-
initiale a ou en sens contraire. Le mouvement du point est donc uniformément varié (162).
COMPARAISON DES FORCES, d'apRÈS LES MOUVEMENTS qu'elles impriment au même POINT MATÉRIEL.
167. Nous n'avons considéré qu'une seule force agissant sur le point M. Supposons maintenant que ce mobile, déjà animé de la vitesse (^, vienne au bout du temps t à être sollicité dans le même sens pendant le temps 0, par deux forces P et P' qui, en agissant séparément, feraient parcourir à ce point, pris à l'état de repos, des espaces ^ et l' pendant le temps Q et lui imprimeraient des vitesses
dl , dl'
u-=i —-•) Il =z -— •
dO dQ
Imaginons c[ue de la position M parlent à la fois deux points matériels animés tous deux de la vitesse t^, mais l'un étant soumis simplement à l'action de la force P et l'autre à l'action simultanée des forces P et P'. Le premier parcourra dans le temps 6 l'espace u9 -4- ^, et, d'après le principe (i64), le second aura sur le premier une avance de ^'. De là il suit que i^9 -h ^ -h ^' est l'espace parcouru par le point matériel M qui, déjà animé de la vitesse i^, est sollicité pendant le temps 6 par les deux forces P et P'. Donc au bout de ce temps sa vitesse sera
p H \- ■ — - ou <' + «-!-«.
de dO
Ainsi le changement de vitesse produit sur un mobile par l'action simultanée de deux forces est indépendant de la vitesse acquise et est égal à la somme des vitesses qu aurait eues séparément le mobile si, pris à l'état de repos, il avait été tour à tour soumis à Inaction de chacune des forces P et P'.
On verrait de même que si les forces P et P' agissaient
en sens contraire, le cbangeraeni de vitesse dans le temps 9 serait égal au — u'.
168. Cela posé, il est facile de démontrer que deux forces cVintensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses qu elles peui'ent produire séparément pendant le même temps sur un même point matériel.
En effet, supposons qu'une force /agisse pendant un temps Q sur un mobile dont la vitesse acquise est v. Elle fera subir à ce mobile un accroissement de vitesse A. Soit k' la variation de vitesse qu'éprouverait le point pai' l'action séparée d'une autre force/'; sifetf agissent simultanément, le cbangement de vitesse sera A -f- A' (167). Donc si /' =:/", on aura A -f- A' = aie. Ainsi une force af produira un cbangement de vitesse égal à 2 A-, de même, une force 3/ produira un cbangement de vitesse égal à 3Ar, et en général une force ///produira un cbangement de vitesse égal à jilc.
Soient maintenant P et P' deux forces d'intensité constante, et soient u et u' les cbangements de vitesse qu'elles produisent sur un même mobile pendant ini temps 6. Je
dis qu'on aura
Vu
En effet, si les forces P et P' sont entre elles dans un
rapport commensurable, soit /leur commune mesure et
soit
V = nf, P' = //'/,
71 et //' étant deux nombres entiers, de sorte que l'on ait
Si A" est le cbangement de vitesse que produirait la force/ dans les circonstances déjà spécifiées, on aura
u=i n/i , u' = II' k y
