COURS BE MÉCANIQUE
d'où
Il n
donc
£— fi
Si les forces P et P' n'ont pas entre elles un rapport commensnrable, je dis que l'égalité précédente aura encore lieu.
En eilet, divisons la force P en Ji forces égales àjf, de
sorte que
en désignant par k la vitesse que produirait la force y, on aura
Si/" est contenu n' fois dans P', on aura
P' II' , n' n! -y r
Do
ne les rapports — et — tombent entre — et ^^ P « n
et, comme ces derniers peuvent différer d'aussi peu qu'on voudra en prenant n suffisamment grand, on en conclut que
Ainsi des forces d'intensités cojistanles sont entre elles comme les changements de vitesses qii elles font subir à ufi même point matériel^ quand elles agisse?ît séparément sur lui, pendant le même temps
Ce fait est confirmé par l'expérience.
1° On sait que la pesanteur n'a pas la même intensité en différentes régions de la terre, et le poids d'un même corps varie d'un lieu à l'autre, dans le rapport des intensités de cette force. Or, l'expérience montre que ce rap-
TREIZIÈME LEÇON. î "ïS
port est précisément le même que celui des vitesses acquises par un même corps tombant, en ces différents endroits, pendant le même temps.
2° Soit P le poids d'un corps tombant le long d'uji plan incliné, qui fait avec l'horizon un angle a. Soit P' la pj g3^ composante de ce poids parallèle
au plan incliné : on a
P' = Psina,
Or, en appelant u la vitesse acquise par le corps tombant librement, et u' celle qu'il acquiert en descendant sur le plan incliné, l'expérience montre que
Donc on a bien
u' zzz u sma.
Vu
DE L'ACCÉLÉrxATION.
170. Supposons qu'une force d'intensité variable sollicite un point matériel M suivant une certaine droite Ox. Fig. 64. Soient OM = a? et (^ la vi-
^ M M' tesse que possède le point
" ^ matériel au point M, au
bout du temps t compté à partir d'une époque r[uelconque. A ce moment la force présente une certaine intensité P, et, si elle agissait constamment avec cette intensité, elle ferait éprouver à la vitesse, pendant l'unité de temps, une certaine variation cp. Cette quantité cp est ce qu'on riomme V accélération, et nous allons démontrer que l'on a
En effet, soit Ai un intervalle de temps assez petit pour que l'intensité de la force soit constamment croissante ou
124 COmS DE MÉCANIQUE.
décroissante, lorsque le point ira de M en M'. Ici, pour fixer les idées, nous la supposerons croissante. Soient çp et û' les accélérations qui correspondent aux points M et M'; V et t» -I- A p» les vitesses du mobile en ces deux points. Si la force conservait pendant le. temps At une intensité égale à celle qu'elle a en M, tpAi serait l'accroissement de vitesse du mobile sous l'action de cette force au bout du temps At. De même a^' At serait la vitesse acquise pendant le même temps, si la force avait la même intensité qu'en M', dans cet intervalle. On aura donc
o^t <^ Ac <^ (f' At, ou
Donc, comme lim 9' = cp, on a
A (' di>
tp :=: lim = -—
^ àt de
J71. Autrement : l'espace Ax parcouru pendant le temps At est évidemment compris entre les espaces qui auraient été parcourus si la force avait eu constamment, pendant cet intervalle de temps, ou sa plus petite, ou sa plus grande intensité. On aura donc, si At = 0
A,r ^ vB -] çpG%
Or
ou
dx [d'^x
A^= •— 9 4- -— -\- a dt \ dt^
donc -— - -h « est toujours compris entre cj) et ^\ et par
dt
TREIZIÈME XEÇOK 123
suite
Mais — ^ = p»: donc dt '
dt
172. Quant au sens du mouvement, l'accélération <p sera positive ou négative selon que la force P tirera dans le sens des x positifs ou dans le sens contraire; cardans le premier cas la force augmentera la vitesse et dans le second cas elle la diminuera. On aura donc dans le premier cas -— "> o, dans le second — - <' o. dt ^ dt ^
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