Soit G' un corps placé sur un plan Horizontal AB
Fig, 69.
et tiré par un fil horizontal dont la direction passe par le centre de masse. Supposons que ce fil, enroulé autour d'une poulie /?, soit entraîné suivant la verticale par le poids d'un corps G sollicité librement par la pesanteur.
Soient m et m' les masses des corps G et G'. La force accélératrice du mobile G étant g, et la force motrice du corps G se répartissant sur la masse m-i-jn', la force
accélératrice de tout le système sera ^ — -, • Le mouve-
ment suivra donc les mêmes lois que celui d'un corps entièrement libre, mais pourra être ralenti autant que l'on voudra, en prenant m' assez grand par rapport à m.
194. La machine d'Atwood offre un troisième moyen. Réduite à l'étal le plus simple, elle se compose d'une poulie verticale P, mobile autour d'un
Fig. 70.
axe horizontal et sur la gorge de j]£] laquelle s'enroule un fil portant
[g] "' à ses extrémités deux corps pe-
■'" sants G et G'.
Soient m et m' les masses des corps G et G'. La force motrice de G étant mg, et ni' g étant celle de G', si l'on suppose m > m', le système sera entraîné par une force motrice égale à mg — m' g ou [m — m') g. Mais comme cette force sollicite une masse m -+- m', la force accélératrice du système ou la force motrice rapportée à l'unité
de masse sera
On pourra donc au moyen de cet appareil ralentir autant qu'on le voudra le mouvement du système.
CHUTE D VN CORPS PESANT DANS UN MILIEU QUI RESISTE COMME LE CARRÉ DE LA VITESSE.
195. Supposons que le corps qui tombe soit symétrique autour d'un axe vertical. Le poids du corps esi, une force dirigée suivant cet axe, et il en est de même de la résultante R des résistances partielles qu'oppose l'air à la chute du corps, aux différents points de sa surface-, la force R agit en sens contraire de la pesanteur.
Soient m la masse du corps et G son centre de gravité ou de masse, situé nécessairement sur Ox. La force motrice du corps due à la pesanteur étant mg, nig — R sera la force mo-
, 1, ntsr — R R
trice reeJJe et —^ ou <? — —
sera la force accélératrice.
L'observation prouve que la
résistance R, lorsque le mouvement du corps n'est ni très-lent, ni très-rapide, peut être regardée comme proportionnelle à la densité du milieu et au carré de la vitesse du mobile. Ou peut donc poser
(i) K = apv\
p désignant la densité de l'air, p- la vitesse du corps et a un coefficient que l'on peut déterminer pour le corps pesant considéré par une expérience, et qui ne dépend ni de p ni de w. Par conséquent la force accélératrice du
mobile sera £• ~ •
196. Si le corps est une sphère, en appelant D sa densité, r son rayon, on aura
i40 COTJKS DE MÉCAKIQtE-
d'où
D'ailleurs on trouve par l'observation que la résistance du fluide est proporlionuelle à la surface de la sphère ou au carré de son rayon 5 on peut donc poser a = br^, et
l'on a
R 3 Z> p c' y pi>' m /^^z D r Dr
Enfin, pour la même sphère et pour le même milieu, y, p, D, /' étant des constantes, on peut poser
et il vient enfin
Dr R
La constante A désigne la vitesse que devrait avoir le mobile pour que la résistance de l'air fût précisément égale au poids du corps.
J97. En supposant toute la masse du corps concentrée à son centre de gravité G, le mouvement de ce point, et par suite celui de tout le corps sera déterminé par l'équation
de là on lire
2 £■ dt 9. h (Iv
ce que l'on peut écrire ainsi :
2 gdt k -\- V -^ k — (' dv dv
En intégrant de part et d'autre, on aura donc
QUINZIÈME LEÇON. l4l
Si l'on tlélerni'ne la constante par la condition que la vitesse soit nulle pour t= o, on a c = o, et l'équation devient
2 jS^t
On en tire
■iet
d'où
ou eijfîn, en divisant les deux termes par c (6) i>=/c-
198. Pour déduire de là l'espace en lonction du temps, (Ix dt
remplaçons v par —•> nous aurons
mais le numérateur de cette fraction est la différentielle du dénominateur, à un facteur constant près. Donc on. aura en intégrant
la constante étant déterminée par la condition que \\k\ ait à la fois x = o et / = o.
î42 COUKS DE MÉCANIQUE.
199. Enfin on peut trouver une relation entre l'espace parcouru et la vitesse. On a (n° 186)
i> dv = (s^dx.
Ici la force accélératrice 9 est égale à g — ^-j. On a donc
,('dv :
ou
dx
En intégrant et déterminant la constante par la condition que l'on ait a: = o, lox'sque ^^ = o, on a
dx
'di>
IS
200. Quand on suppose t très-grand, e est trèspetit, et, en négligeant ce terme, on a
P .-=3 A- , X =^ ht 12.
Ainsi, au bout d'un temps très-long, le mouvement devient sensiblement uniforme, et la force accélératrice
a> = £• — ^ est sensiblement nulle, car elle devient nulle
pour i> = A. Ce fait se conçoit sans peine, car le poids du corps est une force constante, et la résistance de l'air une force variable qui augmente avec la vitesse du mobile et qui finit par faire, à très-peu près, équilibre au poids du corps. Mais on n'a ^ =. k que pour î = 00 , eu sorte que le mouvement tend à devenir uniforme, mais ne l'est jamais rigoureusement, De la valeur
QUINZIÈME LEÇON. l43
on conclut que le carré de la vitesse du mouvement uniforme vers lequel tend le mouvement varié est proportionnel à la densité du corps et au rayon de la sphère, et en raison inverse de la densité du milieu résistant. Ce fait est confirmé par l'expérience.
Le temps au bout duquel le mouvement devient sensiblement uniforme est d'autant plus grand que la valeur de k est plus grande. Car, pour que l'on ait
il faut que l'on ait
