I -+- tang/? tang y
-r. 1 (f gt k
Remplaçant tang^ par - et tang y par j on trouve
s;t , . St
a cos A sin ^
« sin 7- -H A cos 7-
204. Pour obtenir a^ ou l'espace parcouru au bout du temps t, on observera que le numérateur de i^ multiplié par dt est, à un facteur constant près, la différentielle du dénominateur. Donc, si l'on intègre et qu'on détermine la constante par la condition que l'on ait simultanément a; = o et î = o, ce qui revient à placer l'origine des abscisses au. point de départ du mobile, on a
yfx ^^ 1 f " ■ g^ g^
205. Quand on veut exprimer x en fonction de $^, on fait usage de la formule
i>dv =^ '^dx ^
qui devient, en remplaçant cp par sa valeur (202),
vdv=^ — { s -\-"-Tir\ d^ OU
/? -^ 2 V dv
; = 2 P- dx.
Intégrant et déterminant la constante, de manière que l'on ait à la fois x = o et p» = a, on a
206. Il y a un instant où le corps cesse de monter. Si 0 est le temps de Fascension et h la hauteur la plus grande à laquelle parvient le mobile, on aura, en faisant v=^Q dans les formules (4) et (6),
tang^ = -5 d ou 9 = -arctane — " k k g ° k
et
Parvenu à cette hauteur, le mobile commence à descendre, et si l'on appelle a la vitesse qu'il possède lorsqu'il est revenu au point de départ, on aura, en faisant x = h, v=^ a' dans la formule (8) du n" 199,
ou
2£' A^ us /.2 —
On a donc
lO.
l48 COUnS DE MÉCANIQUE.
d'où l'on tire
ak
\ia'- -f- A"
Celte formule fait voir que «'est toujours moindre que a.
207. Pour déterminer le temps C de la chute du corps, on remplacera, dans la formule (5) du n° 197,
t^ par «' et i par 0', d'où l'on déduira
k Ja'-{- k''
et si l'on nomme T le temps total que le mobile met à revenir à sa posiliou initiale, on aura
ou
T = - I arc lanc t + •
Les quantités a ei g sont supposées connues-, le temps T peut être obtenu par l'expérience : cette dernière relation peut donc servir à déterminer la constante k pour un mobile donné.
MOUVEMENT d'uW CORPS PESANT DANS UN MILIEU QUI RÉSISTE COMME LA VITESSE.
208. Quand le mobile possède une très-petite vitesse, on peut regarder la résistance du milieu comme proportionnelle à cette vitesse. Si le corps descend, il faudra
poser
dtf gi>
ou
g dt dv
^) — = izr;;°
Inlégraut et déterminant la constante par la condition
SEIZIÈME LEÇOK. l49
qu'on ait à la fois f = o, t^' = o, on a
d'où
Multi
ipliant
par
• dt
et inlégr
ant,
la constante étant déterminée par la condition que x = o pour t= o.
MOUVEMENT d'uN CORPS DÉNUÉ DE PESANTEUR DANS UN MILIEU QUI RÉSISTE COMME LA RACINE CARRÉE DE LA VITESSE.
209. Ce cas est intéressant, parce que le mobile finit par s'arrêter et que cette circonstance répond à une solution particulière de l'équation différentielle.
La résistance du milieu, seule force qui sollicite le mobile, agissant en sens inverse du mouvement, on aura
Comme l'unité de vitesse est arbitraire, on peut la choisir de telle sorte que a = 2. Alors Vcqualion précédente revient à
(2) dt^ -•
Intégrant et supposant p» = a pour / =: o, on aura
t=sja — ^v ou
(3) u=(^a-t)\ De cette équation on déduit
dx z= {\/'a — t) dt^
d'où l'on tire, en intégrant et supposant x = o pour t = o,
(4) ..=^iv^«iO:.
