dxd^x Q.gr'^dx

dl- (a — X]'-

Jdx\ I

d\ = rf 7 r 2 gJ

\dt ) {a — x) ^

Donc, en intégrant et déterminant la constante par la condition que la vitesse initiale soit nulle, on aura

212. Cette formule fait voir que la vitesse augmente avec X, ce qu'on pouvait prévoir. Si l'on fait

X = AB = a =^7- ::= // .

il vient

comme on a r<^a^ on voit que la vitesse du mobile eu arrivant à la surface de la lerre est moindre que la vitesse qu'il aurait en tombanl de la même hauteur A, si la pesanteur était partout la même qu'à la surface : conséquence évidente.

213. Pour x^a, on a P'^roo , Donc, si toute la masse du globe était réunie à son centre, la vitesse acquise par le mobile arrivant au centre serait infinie.

l52 COURS DE MÉCANIQUE.

21^. Si l'on remplace f^ par — dans l'équalion (2),

on a

2 gr'' [n — x) âx

dt =: — - ;

on donne aux radicaux le signe +, parce que la vitesse — doit être positive. Pour intégrer on écrira

— a — r j dx — a dx

-""-'dr^M ^—^ ^

^ ^ ax — x'^

I ax

[ — a — X dx

d \J ax — x'\ - aJ arc ces

\l ax — x'^

— adx

a — 2.r = r= - ad arc ces

y/ ax — x'^ 2

donc

/ ?. Sf ' I I

arc CCS <

On n'ajoute pas de constante, parce qu'on doit avoir X = o pour t=^ o.

215. Cette relation entre l'espace et le temps peut Fig. 73. être représentée par une v courbe. Menons hj perpendiculaire à AO, et OD parallèle à kj. Imagi- "d nous qu'uqe circonférence ayant AO pour diamètre roule sur OD, le point A de cette circonférence engendrera une cycloïde AND, dont l'équation différentielle.

par rapport aux axes Oj et O.r, sera

/a — X dy = d.r y -——

a — .r) (Ix

sjax — x'^

Or le second membre est égal à \ — — dt-^ on aura donc

dy^^-^-rl^U

et par conséquent

Le temps employé par le mobile à parcourir l'espace AM est donc proportionnel à l'ordonnée correspondante de la cycloïde.

CAS PARTICULIEH D'UJV COUPS PLACÉ A UJNE PETITE DISTAKCE DE LA SURFACE TEIlUEbTIlE.

216. Les formules que nous venons de trouver doivent devenir celles du mouvement uniformément accéléré quand on suppose la dislance AB très-petite par rapport au rayon terrestre.

En effet, soit {/iij. 72, p. i5o)

d'où

on a, formule (2). n° 211,

Comme h et x sont des quantités très-petites par rappoi l

l54 COURS DE MÉCAlVIQTJE.

à r, on peut négliger h — x, qui est ajouté à r, et remplacer a par /', ce qui donne

Maintenant dans la formule (3) (214) on peut remplacer

T a — ix

— a arc ces

par

— o arc sin f — J a:.

mais — et par suite - sjcix — x^ ou 2 W - ( i i étant

très-pelit, on peut remplacer l'arc par son sinus et à la

place de - a arc sin [ - \Jax — x^ | écrire <^ax — x^ .

Par la même raison, négligeant x^ devant ax et remplaçant a par /■, la formule (3) devient

^2.grt =z 2. \Jrx ou

DIX-SEPTIEME LEÇOW.

DU MOUVEMENT RECTILIGNE DES POINTS ATTIRÉS OU REPOUSSÉS PAR DES CENTRES FIXES.

Mouvement de deux points qui s'attirent en raison inverse du carré des distances. — Mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison directe de la distance. — Mouvement d'un point repoussé par un centre fixe en raison directe de la distance.

MOUVEMENT DE DEUX POINTS MATÉRIELS QUI S ATTIREKX EN TlAISON INVERSE DU CARRÉ DES DISTANCES.

217. On peut ramener au problème précédent (211) le mouvement de deux points matériels qui s'attirent en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance.

Les équations du mouvement de ces deux points, en appelant m et in' leurs masses, x cl x' leurs distances à une origine prise sur la droite qu'ils parcourent et u leur dislance au bout du temps f, seront

fui in'

df"

fmm'

on a donc

di'

d'où l'on déduit

c'est-à-dire que le centre de gravité des deux masses se meut uniformément. On a ensuite

d\T d^x' f[in-\- m') dl^ do' u'

l56 COURS DE MÉCANIQUE.

OU, à cause de x' — x = ii,

Donc l'un des points se meut par rapport à l'autre comme s'il était attiré par une masse égale k [ni-\- m') placée en un centre fixe. On déterminera donc u en fonction de t comme dans le problème précédent, puis on aura les valeurs de X et de x' par les équations

oc — J7 = «, ; — =: at -h b.

MOUVEMENT d'uN POINT ATTIRÉ EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE.

218. Considérons un point matériel placé d'abord au point A où sa vitesse est nulle et attiré par un centre fixe O, en raison directe de sa distance à ce dernier point, que nous prendrons pour origine. Comme la force attractive tend à diminuer l'abscisse variable x du point mobile, on a l'équation

n} étant la mesure de l'attraction exercée sur l'unité de masse du corps à l'unité de distance. Multiplions de pari et d'autre par 2c?x, nous aurons

id.rd'^.T.

:^ — iri^xdx,

d'où, en intégrant,

la constante étant déterminée par la condition que -- ou V soit nulle pour x=^a.

DIX-SEPTIÈME LEÇON, iSj

Comme la vitesse du mobile est négative quand il va dans le sens AO, on a

dx = — n lit sjci^ — x'^

. dx

ndt-

Intégrant et déterminant la constante par la condition que l'on ait à la fois t =:o^ x = a^ ce qui la rend nulle on a

nt z:= arc ces — a

(3) ^ = acos«^;

et ensuite

(4) p = — na%\ï\nt.