Lorsque le point mobile arrive en 0, on a
o et nt=i -?
d'où
Parvenu à ce point, sa vitesse est égale à — na. Le mobile dépasse donc le point O et continue sa roule en vertu de sa vitesse acquise. Pour déterminer le point A' où il s'arrêtera, faisons v =^o. il en résulte nt = r., d'où t = - et
par suite x = — a. Ainsi OA' = OA.
Arrivé en A' où il n'a plus de vitesse, le mobile se trouve placé par rapport au point O, comme il l'était en A. Usera donc attiré avec une vitesse croissante de A' jvisqu'au point O où sa vitesse sera Jia, puis continuera sa roule en vertu de sa vitesse acquise jusqu'en A, pour revenir de nouveau en O, et ainsi de suite.
Ainsi le mobile fera une infinité d'oscillations toutes
l58 COURS DE MÉCANIQUE,
égales entre elles et de même durée, de A en A' et de A"" en A.
220. On peut, comme dans le cas précédent (215), représenter par une construction géométrique la relatioji qui existe entre l'espace et le temps. Sur AA' [Jig. 74; n° 218) comme diamètre décrivons une demi-circonférence. Soit OM = jc, et menons MN perpendiculaire à AA'. Le triangle rectangle ONM donne
AN .r = û: ces — :
mais
X r=z a cosnt,
AN=:ant.
. AN Ainsi — représentera le temps que le mobile emploie à
aller du point M au point A.
MOUVEMENT d'un POINT REPOUSSÉ PAR UN CENTRE FIXE EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE.
221. Examinons maintenant le cas d'un point matériel repoussé par un centre fixe O, en Raison directe de la distance.
Supposons qu'à l'origine du temps le point matériel
Fi{y. 75. placé à une distance OA=:a
" A r du centre fixe soit animé
d'une vitesse dirigée vers le point O et représentée par
— jih.
La force accélératrice, positive puisque la répulsion tend à augmenter l'abscisse du point M, étant représentée par Ji-x, on aura
d'où l'on déduit, en multipliant par 2dx et intégrant,
—- 1 = n-x^ H- c, dt
DIX-SEPTIÈME LEÇON. î Sp
Mais, pour t= o, on a -^ ou t^ = — nh, x — a^ donc d'où, en éliminant la constante.
On en déduit
dx
sfx^ -i- b' — a'
iidt
OU
On prend le signe — , parce que la vitesse est d'abord négative. En intégrant de nouveau et ayant égard aux circonstances initiales, on aura
—, = — nt
ou
X + sjx- -+- b- — a^ 1= («-{- b')e~"'. On tire facilement de cette équation
222. Examinons maintenant quelques cas particuliers. La formule
montre que la vitesse ne peut jamais être nulle, si l'on a b^^a^. Dans ce cas le mobile atteindra l'origine lorsqu'on aura
valeur positive, puisqu'on a \b^ — a^ <^a ■+■ b.Sa vitesse étant alors — n yjb'^ — a^, le mobile dépassera le point O, et il est clair qu'il se mouvra indéfiniment vers la gauche.
l6o COURS DE MÉCANIQUE.
Si l'on a b <:^a,\a vitesse sera nulle lorsque l'on aura
ce qui correspond à un point placé entre O et A, et celte circonstance arrivera à une époque donnée par
I , sj(f'- — h''
Il est clair qu'arrivé au point B le mobile, repoussé par l'action du centre fixe, commencera à se mouvoir vers la droite, et sa vitesse sera positive. Il faudra donc, à partir de cet instant, prendre la formule
-hb
^\lb'
Dans ce cas le mobile ne passera jamais par le point O, car la formule
t=~\ donne pour x = o
a -\- b valeur imaginaire.
Enfin si l'on a. b = a, les formules se simplifient, et l'on a
x = '^ae~'",
La première montre que l'on a ^^ = o pour x = o-^ mais la seconde ou la troisième donnant pour x = o, t = co , on voit que le mobile approchera continuellement du point O, mais n'y arrivera jamais.
DIX-HUITIEME LEÇOK.
