Représentons par

f{.T, y, u) = o l'équation

de l'une quelconque des paraboles. Une autre de ces courbes aura pour équation

f{x,j, u + Lu) =0.

DIX-KEUVIÈME LEÇON. ly^

Si M {x,y) est un point commun à ces deux courbes, on aura donc à la fois

f{x,j, u) — o, f{x,r, M + A«) = o, d'où l'on déduit

/(■r, j, n + ^li) —f{x,y, u) ^

Si maintenant on suppose Au = o, on a, pour déterminer le point d'intersection de deux paraboles infiniment voisines, les équations

ou

ih

L'élimination de u entre ces deux équations donnera

pour l'équation du lieu des points M, c'est-à-dire pour l'enveloppe de toutes les paraboles.

Or cette équation est précisément celle que nous avons trouvée pour la parabole HLM, lieu des points que le projectile ne peut atteindre que dans une seule direction. Ce

, , . . , .,,. df

résultat pouvait être prévu, car 1 équation — = o exprime que pour un système quelconque de valeurs attribuées à X et j', u considérée comme inconnue a deux valeurs égales. :

So