Si la force motrice était nulle, on aurait
mdv 1. »
— -— = o , d où p = constante.
dt '
et N serait à la fois la mesure de la force centripète et de la force centrifuge.
Si la force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, on aurait
La résistance de la surface serait la force centripète. Dans ce cas, MN se confondant avec MF, le plan osculateur PMF contient la normale N à la surface. Alors la courbe que décrit le mobile est telle, que tous ses plans osculateurs sont normaux à la surface. Cette propriété appartient, comme on sait, à la ligne la plus courte tracée sur la surface entre deux points. On peut donc dire que dans ce cas la trajectoire est la ligne la plus courte que Ton puisse tracer sur la surface eiitre deux quelconques de ses points,
AUTRE MANIERE d'oBTENIR LES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.
256. Huyghens trouve à peu prés de la manière suivante les composantes de la force motrice. Le mobile arrivant au point M de sa trajectoire, au bout du temps <, décomposons la force motrice P en deux forces T et Q : l'une dirigée suivant la tangente MT, et l'autre perpendiculaire à cette tangente. Dans le temps infiniment petit
l86 COURS DE MéGAnTQUC.
dt, le mobile parcourt l'arc MN = ds. Si Ton considère la force motrice P comme constante en grandeur et en direction pendant le temps infiniment petit r/f, rëlé* ment MN ou ds peut être considéré comme situé dans le plan PMT qui passe par la tangente MT au point M et par la direction de la force P. C'est donc le plan osculateur de la trajectoire, et la direction de la force Q passe par le centre de courbure K. Pendant que le mobile parcourt Tare MN, sa projection sur la droite MK parcourt l'espace MH, projection de MN, en se mouvant comme un point de même masse qui, n'ayant pas de vitesse initiale suivant MG, serait sollicité par la composante de la force P parallèle à MK, composante qui conserve pendant le temps dt la valeur Q qu'elle a au point M. On aura donc
(i) }\^=^^-^ dt\
Décrivons dans le plan PMT le cercle osculateur au point M, qui touche la tangente Mï en M et passe par le point N infiniment voisin du point M : le carré de la corde MN est égal au diamètre multiplié par la projection MH de MN sur le diamètre MK. On a donc
. 2MK.
ou
ds
en substituant l'arc inÛnîment petit ds à sa corde ÎV^N et désignant par p le rayon de courbure MK. En égalant les valeurs (t) et (a) de MH, on aura
1 O ds^
2 tn 2p
TIlfCrTIEUE LEÇON. 187
d*OÛ
Pendant que le mobile parcourt l'arc MN, la projection sur la tangente MT se meut comme un point de masse m sollicité par la force constante T*, on a donc
g, rf(pcosa)
a désignant l'angle que la vitesse variable v du mobile sur Parc MN fait avec MT. En effectuant la diflerentiatioui
T = /M -7- C0S2 — mp sm a -^ •
tlt di
Mais au point M l'angle ol est nul, ce qui donne pour ce point
Ces considérations s'étendraient au cas d'un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface.
