RELATION ENTRE LE TRAVAIL ET LA FORCE VITE

267. Si dans l'équation (a) du n° S60 on remplace Xrfj: 4- Ydy ^-Zdz par T^^, on aura

(i) dmv^^iuTds,

d'où

Tds.

Si k est la vitesse lorsque 5 = 5©, on aura C = mA*, et par suite

Ainsi Taccroissement de force vive du mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail de la force motrice.

268. Si la force P est la résultante de plusieurs forces Pi, P|,. . ., dont les composantes tangentielles sont Ti» Tf, Ta,. . ., on aura

<i'où

lTds= JT^ds-h /larfn-....

yihgt et unième leçoh. v 1^5

On aura donc

» — iM^«=af il^ds-J^ jTifis -{-... y

Donc, si Ton appelle forces mouv^antes celles qui font un angle aigu avec la tangente, ci forces résistantes celles qui font un angle obtus et dont TeiTet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe, on pourra dire que :

L'accrr>issement de force vive iTun mobile, lorsqviil passe d^une position à une autre, est égal au double de l^ excès du traitait des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.

Ce principe est ce que Ton nomme le principe des forces vives ou de la transmission du travail, pour le cas d^un simple point matériel. Nous retendrons plus tard au cas d'un nombre quelconque de points.

CONSéQDElfCES DU PRTliGIPE DES FORCES VIVES.

269. Quand le mobile n'est sollicité par aucune force on qu'il Test seulement par des forces toujours normales à la trajectoire, on a T = o, et par suite v = k. Ainsi le mouvement est uniforme» ce qu'on a déjà trouvé par une autre méthode.

270. Supposons que X/7jc -f- Ydjr -f- Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction f(Xj jr^ z) de trois coordonnées x, jr, z considérées comme des variables indépendantes, ce qui exige que l'on ait

(0 ^ = S' ^=d^' ^^Tz'

Il résulte des lois de la difTérentiatiou que x, y^ z étant regardées comme des fonctions quelconques du temps, on aura

xrfx -h y i/r-+- zi& = Trfx= rf/(«', j, «).

Par conséquent, I équation des forces vives se réduira à

mp>=C-h2/(*,r, «); ,

et si Ton désigne par a, &, c les coordonnées du mobile, lorsque 1^ = A, on aura

(2) iitP» — m^'=r a/(x, j^, z) — 2/(fl, 6, c).

Il résulte de là que raccroisseinent de force vive, lorsque le mobile passe de la position (a, &, c) à la position (x, y, z)j ne dépend pas de la trajectoire dans l'intervalle, ni du temps qui s'est écoulé entre les deux positions extrêmes, mais seulemeut des coordonnées de ces deux positions.