bx — jr

^ (2/1 — i) A,r»~' r/.r — linJE^di

donc

dx x"<£r

if.îx*"* ^bx — a* = (2/i — \)b 2/r

SJbx — jt* ^6x— x»

d'où, en intégrant entre les limites o et &,

donc

A« — Aa-|.

un

On aura de même

(an — 3)^ (a/f — 5)^

A«rr: ^- ©"Ao.

Jf** (ix ' — — - — >0r o ^bx — X*

/dx /• ^

TIITGT-TEOISIÈME LEÇOH. 21 5

OU

d.T b — ajr - = arc cos ; —

^ bjc — X*

donc on aura

fr.

^ bx — «c*

Par conséquent

Ao = K, A|=: — ^TT, Ai=: T^'^j A3= ' , ' . &*ir,.».»

Telle est la formule qui donne la durée d une oscillation pour une amplitude quelconque.

291. Quand Tamplitude est très-petite, & = i — cosa peut être négligé, et Ton retrouve la formule approchée

Si, remplaçant & par i — cosa ou 1 5—7 -f-...,

on négligeait dans Texpression les puissances de a supérieures à la seconde, on trouverait

^='Vl(-^)

Ainsi la durée de. Toscillation dépend de Tamplitude et augmente avec cette quantité.

PENDULE CYCLOÏDAL.

202. Considérons le mouvement d'un point pesant sur une cycloïdeCBC renversée, située dans un plan vertical et dont l'axe BO est vertical.

2i6 coras-DE mécanique.

Prenons pour axes de coordonnées Taxe Br et la tangente Bj au sommet B. Soit A le point de départ du mobile

où nous supposerons sa vitesse nulle, et soit M(x, y) sa position à une époque quelconque t.

^ Soit a le diamètre ^' BD du cercle générateur. Les composantes de la force accélératrice étant

Téquation générale du mouvement

(i) di^:=i — igdxy

d'où

p* = C — iigx,

Sî BH = /l, on doit avoir i^=o pour x =zh^ d'où o = C — Vkgh : donc

Soîi maintenant BM =5, on a 5*== 4aa: = aftx en appelant b le rayon de courbure BK = a BD de la cycloïde au point B. Il en résulte

et

dx

ds=z^ib

di

Comme dans la première oscillation i^ = — —-j on en déduit, à cause de i^ = y/2 g (h — x).

di = ^iJt—^ 2 V g Jhx--

TI96T-TROISlkME LEÇON. ^1J

Iniëgrant et détermmant la constante par la condition que l'on ait a la fois ^ = o et x = /i, il vient

(4) . = iv1