On appelle tautochrone toute ligne courbe sur

laquelle un point pesant abandonné sans vitesse initiale

p. d'un point quelconque de cette

courbe parvient dans le même

"a^*- ^^ temps au point le plus bas. La

cycloïde est donc une courbe tautocbrone (293). Nous allons faire voir que c^est la seule courbe tautochrone dans le vide.

Si l'on appelle t' le temps nécessaire pour décrire AB, on a

/* ds

et il s'agit de déterminer s en fonction de or, de manière

que la valeur de t' ^2^ soit indépendante de h.

Supposons 5 développée en série suivant les puissances ascendantes de x :

(2) 1=:::: Aj:*-+-Bj:^-+-Cx>'-f-. ...

Comme 5 et a: ont leur origine au point B, et qu'on a s ^=0 pour X = o, il faut que tous les exposants soient positifs et qu'aucun ne soit o. Le plus petit a doit être

moindre que l'unité; car en B on a ^ = o ou — = 00 .

Substituant la valeur de s dans (1), on aura

Jo >/à — x J^ sjh-^x

TXKGT-TROISIÈME LEÇOST. atp

et, en faisant x = /m,

Celte quantité doit être indépendante de A : il faut donc

que le plus petit exposant de A ou a soit nul, puis-

que sMl était positif on aurait T = o pour A = o, et s'il était négatif on aurait T== 00 pour la même hypothèse. Les autres termes doivent disparaître; donc

et par suite ou

L^équation 5 = A ^ appartient à une cycloïde. Donc la cycloïde est la seule courbe tautochrone dans le vide .