Autrement, si dans l'équation (i
A iis
on pose
, n^ ds
390 GODRS DE XÉCÂZIIQUZ.
on aura
Cette expression devra être indépendante de A. Posons x=.hu^ il en résulte
ou bien
en posant
ç'(x)j:»- = >Kx).
— zr: I ^' A«) ;
Or ^ doit être nul. Il faut donc que ^'(Aw) ou ^'{x) =^0;
car autrement on pourrait prendre h assez petit pour que de x = o à j: = /i, ^'(.r) fût toujours de même signe, et alors IMntégrale, ayant tous ses éléments de même signe, ne serait pas nulle. On a donc
d'où
Donc
ou
4»'(x) = o eu 4»(x) = C,
équation d*une cycloïde.
TIHCT-TROISTÈME LEÇON. 221
PENDULE DANS UN MILTEU RÉSISTAIfT.
297. En désignant par R la résistance du milieu, Téquation du mouvement sera
(1) =:^sinô-R.
Comme il s*agitdc petites vitesses, nous supposerons la résistance proportionnelle â la vitesse, et nous poserons
R — ?! — Ç ^ if ~"X- dt'
On as = a{oc — 0) : donc
A' dt
En remplaçant dans Téquaiion (i) — - par — ^7*7»
sinO par 0 et R par la valeur précédente, on aura à intégrer Téquation du second ordre
d^B gdO ^^ ^ ' di* A di a
On a une solution particulière de cette équation en prenant
r étant une racine de Téquation
(3) On
a donc
en posant 7 =
g nA
-rr-i = 0.
^s/Wfh-'-
La solution générale de Téquadon (2) sera donc
= [ccos(/7^)+c'sin(ryy/i)]. >*.
d9 On déterminera c et c' par les conditions 9 = a, — = o.
pour f = o, d ou c = a, c' = — -r— et
.=.[c«(„y'i) + f».(„y/f)]rS
dà
 la Gn de chaque oscillation, — = o, ce qui donne
et
Les oscillations sont isochrones comme dans le vide, et leur durée est augmentée dans le rapport de i à y. Faisant / = /iT, on a Tamplitude de la «*''"' oscillation,
donc les amplitudes successives forment une progression
géométrique décroissante dont la raison est |D = e ^if^ .
298. Lorsque le mouvement a lieu sur une cycloïde, toutes les oscillations se font rigoureusement dans le même temps, en sorte que cette courbe est encore tautochrone dans un milieu qui résiste proportionnellement à la vitesse.
VINGT-TnOISlkME LCÇOlf. 223
En efTet Téqualion du mouvement
r/p d.T gç
dt~^ds ""T
devienl, en remplaçant if par — Y ^^ TT ^^^ "'
d'^s g dx g dr A di^ a
Cette équation, analogue à Téqualion (a) obtenue approximativement au n^ 297, donnera pour T une valeur indépendante de s.
CODAS DE MtcAmçvû*
