Soit M un point mobile sollicité à chaque instant

par une force dont la direc* tion passe constamment par Un même point O. Les composantes de la force accélératrice, par rapport à trois axes rectangulaires menés par le point O, seront proportionnelles aux cooixlonnées du point M. On aura donc

ou bien

xd^X — jrd*.r dF*

zd^x — .r H^ ?

yd^t — zd^x dT^

équations dont chacune est une conséquence des deux

TIKGT QUATRIÈME LEÇOR. 2aD

autres. En les intégrant et désignant par c, c\ c" trois constantes arbitraires, on aura

zdx — xdz =r e' dt^ ydz — zdy :=: €^dt.

Les constantes c, c\ c" se détermineront quand on connaîtra la position initiale et la vitesse initiale du mobile, en grandeur et en direction, c'est-à-dire les valeurs ini-

. , - d.r tir dz

tiales de x, r, r, -—> —-» —•

' -^ ' ^ dt dt dt

300. Si Ton ajoute les équations après les avoir respectivement multipliées par z^y^ x, on a

(3) or=cz-i- c'/4-c''x,

équation d'un plan passant par Torigine des coordonnées. Ainsi la trajectoire est une courbe plane. En effet, on voit bien à priori que le point mobile ne doit pas sortir du plan mené par ie rayon vecteur initial et par la direction de la vitesse initiale.

Interprétons maintMzant les équations (q). SoitOP = r la projection du rayon vecteur OM sur le plan des xj^ et soît PO j: = 6, on aura

tang9= ->

d où, en diflerentiant par rapport h /,

rï9 xdy — ydx xdy — ydx

cos 0 x' r* cos^ Ô

d*où Ton lire

r^dB =ix dj' — y dx.

Mais si Ton appelle X l'aire BOP parcourue par la projection du rayon vecteur, pendant le lemps f, on a

d\ = ^r^dOi

Stobb. — Mée,^ f. iS

COVK8

nE MÉGAHIQUE.

donc

(Xdjr-

■ydx) ou

dl —

cc/fy

d'où r

on tire

l— -et.

Il n*j a pas de constante à ajouter : car X étant la projection de Taire pendant le temps t, on doit avoir X =::o pour t = o.

On conclut de là que le secteur engendré par le mou» i^ement de la projection du rayon vecteur sur un plan quelconque est proportionnel au temps. La constante c est le double du secteur parcouru, pendant l'unité de temps, par la projection du rayon vecteur sur le plan des ay. On aura des résultats analogues pour les deux autres axes. On aura donc

V et yP désignant des quantités qui se définissent de la même manière que X. Si l'on projette le rayon vecteur sur le plan même de la courbe, on en conclut que Taire engendrée par le rayon vecteur lui-même est proportionnelle au temps.

301 . Réciproquement, si la trajectoire d'-un point mobile est plane et telle, que les aires engendrées par le rayon vecteur, partant de l'origine des coordonnées, soient proportionnelles aux temps, la force motrice passera constamment par Torigîne des coordonnées. En effet, dans cette hypothèse, le secteur OAM est proportionnel au temps \ par suite il en est de même de sa projection X, sur le plan des xry. Donc, en appelant c le double de Taire parcourue par la projection du rayon vecteur sur le plan

des (x, y) pendant Tunité de temps, on a X == -c^ Or

VIHGT-QUÀT&IÈXS LSÇON. I27

donc

xdy — ydxz=Lcdu

Diflerentiant cette équation par rapport à t, considérée comme variable indépendante, on en déduit

on a de même

dO fU^ X y ^

d*x d^z lïF dF

On conclut de là que les composantes de la force motrice

parallèles aux axes, savoir : m -— j m —— et m -rr > en

'^ ' dt^ di* di^

appelant m la masse du point mobile, sont proportionnelles aux coordonnées de son point d'application. Par conséquent, le parallélipipède dont les coordonnées x, /, z sont les trois côtés contigus est semblable à celui qui a pour côtés les composantes de la force motrice, d^où il suit que la diagonale du second, suivant laquelle est dirigée la force motrice, coïncide en direction avec la diagonale du premier, qui aboutit en O. Donc la force motrice passera constamment par ce dernier point.