SUITE DU MOUVEMENT DÎS PLANÈTES

HouTemenld*un point attiré par un centre fixe en raison inrerse du carré de la distance. — Cas d*une orbite elliptique. — Cas d'une orbite circulaire on presque circulaire. — Cas d'une orbite parabolique.

MOUVEMENT d'uN POINT ATTIRÉ PAR UN CENTRE FIXE EN RAISON INVERSE DU CARRÉ DE LA DISTANCE.

313. Supposons toute la masse d'une planète réunie i son centre de gravité, et cherchons le mouvement que

prendra ce point , sollicité à chaque instant par une force dont la direction passé constamment par un point fixe O, et dont Tintensiié varie en raison inverse du carré de la dislance OM = r.

En premier lieu, la trajectoire est plane et située dans le plan qui passe par le point fixe et par la direction de la vitesse initiale. Prenons le point O pour pôle et Ox pour axe polaire, et soient r et fl les coordonnées du point M, au bout du temps t : on aura, par le principe des aires,

(i) r*dQ=:cdt.

Or (303)

rVO rtiB . .

ai ai

en appelant y la vitesse du mobile et â Tangle que forme

a36 COURS DE MÉCANIQUE.

le rayon vecteur avec la taiigenic à la trajectoire. Donc

(2) c:=v'X rs\n9.

Ainsi on peut dire que la constante c, qui représentait déjà le double du secteur engendré par le rayon vecteur, pendant Tunité de temps, la trajectoire étant supposée connue, sera pour nous, dans la question actuelle, le produit de la vitesse du mobile par la perpendiculaire abaissée du point Gxe sur la tangente, à un instant quelconque, par exemple à Torigine du temps.

Soit maintenant R la force accélératrice à Tinstant que Ton considère. On a

(3) €/p» = --2Rrfr,

et comme ici R = -^9 en appelant jx la force accélératrice h l'unité de distance, il vient

et, par suite, en intégrant,

La valeur de la constante arbitraire b se déterminerait en cherchant la valeur de — — i'*, à une époque quelconque du mouvement, par exemple i Torigine du temps. D'ailleurs, puisque

••'nr c

Téquation différentielle de la trajectoire est

VINGT-CINQUIEME LEÇON. aSj