Pour intégrer plus facilement, posons -=z
d*où résulte
zneclz
On voit que ^ devant êlre <^ o ou > o, suivant que r
croit ou décroît lorsque 0 augmente, il faudra prendre au numérateur le signe — ou le signe -h , suivant que le premier ou le second cas aura lieu. Si donc nous supposons que r croisse en même temps que 9, on aura
— edz — c^dz
dO=:
ou bien
— r}dz
dO=z
On a toujours jjl* — bc* > o, sans quoi — serait imaginaire pour toutes les valeurs possibles de d. Donc si Ton pose
il vient
d*où, en intégrant et appelant a> un angle constant, on a
enfin
0 = w 4-arccos7 ou
(7) co$(ô-») = 44^
Vf* — ^
Quoique cette formule ait été établie dans Thypo-
Ïl38 COUnS DB MÉCAHIQUE.
thèse où r et Q croissent simultanément, elle convient également, alors même que r diminue lorsque 6 croît.
dz En effet, lorsque ce dernier cas a lieu, — doit être plus
grand que o*, donc il en est de même de ^', car, à cause
y , e^dz , , , dq dz
de dq = - , — -t dq et dz^ et par suite -77 et -7- > sont
toujours de même signe. Or Téquation q •=. cos (d — o)),
donnant -7^ = — sin (9 — w), fait voir qu'en prenant la
formule 9 — w = arccosi/, — > et par suite — > changent
de signe en s'évanouissant lorsque 0 — ci) devient égal à un multiple quelconque de tt, ce qui correspond aux positions du mobile où z, et par suite r, est un maximum ou un minimum.
315. En remplaçant z par -9 dans Téquation (y), il vient, pour Téquation de la trajectoire,
/ àc*
On voit que cette courbe est toujours une section conique, car Téquation générale d'une section conique, rapportée à un foyer et à un axe polaire, faisant un angle a> avec Taxe qui passe par ce foyer; est
rz=
I 4- tf CO5(0 — u)
La courbe est une ellipse, si e<^t] une parabole, si c = 1, et une hyperbole, si e ^ i. Par conséquent, en se
rappelant que b est égal à la valeur initiale de — — 1^',
VIHGT-ClIÎQinEMB LEÇOIT. oig
on Toît que, si à une époque quelconque du mouyement on a
ç^<^-^y la courbe est une ellipse;
> r' = — , elle est une parabole;
p»^' — Î-» elle est une hyperbole.
Ainsi Tespèce de la courbe dépend uniquement de la grandeur de la vitesse à Torigine du temps, mais nullement de sa direction, en sorte que différents mobiles, lancés successivement du même point de Fespace, avec des vitesses égales, mais de directions différentes, parcourraient tous des courbes de même espèce.
CAS ou LA COUBBE BST VUE ELLIPSE.
316. En appelant aa le grand axe et e Texcentricité, Téquation de l'ellipse est
i -h e ces (0 — w ) Identifiant avec Téquaiion (8) du n^ 315, on a
/ bc* u
formules qui déterminent les éléments de Tellipse, en fonction des données du problème.
317. Il reste encore à déterminer v, ret d en fonction du temps f, afin de connaître la vitesse et la position du mobile à une époque donnée. On a d'abord (313)
a4o C0UK8 OE XÉCAMIQCB.
d'où, à cause de
dr^-^r^dB* ^ ^ ,
dî^ ""T ""
En éliminant dO entre celte équation et Téquation f^dO =i cdt^ il vient
ziirdr
dt=z
OU
de —
rdr
en supposant d* abord que r croisse avec f. En remplaçant b par - et c" par fxa (i — e'), cette différentielle peut se mettre sous la forme
rdr
\Jt ^a-é^-{a-rf
Si AMB est l'ellipse parcourue, le mobile est le plus près du point O, pôle et foyer de l'ellipse, â Textré-
milé A du grand axe nommé périhélie de la planète, et il est le plus loin de O, à Tautre extrémité B, qu'on appelle aphélie de la planète. Par conséc|uent le rayon vecteur /* varie de OA = a(i — e)àOB = a(i-+-e).
Il est doDC permis, pour la commodité de l'intégration, d'introduire une variable auxiliaire k, telle que
On en tiro
r = fl (i — ecosu).
</r= achitïuduy
Cl l'équation (4) devient
= c//=(i — ecosu)du a ^a
ou
[6) neli=:{i — eco%u)€iu,
eu posant, pour abréger,
En intégrant, on a Téquation
(^) nt=.u — esmu.
il n'y a pas de constante à ajouter, si Ton compte le temps à partir du moment où la planète est à son périhélie^ car alors r=a(i — e), et par conséquent cosu=i, d'où u = o en même temps que £ =^ o.
318. Pourconstruirerangleauxiliaireu, sur 6A comme diamètre décrivons une circonférence de cercle. Soient M la position actuelle du mobile et C le centre de Tellipse. Prolongeons l'ordonnée MF jusqu'au point K où elle rencontre la circonférence. Je dis que F angle KCÂ = u, Vax effet, ou a, en vertu d'une propriété connue des rayons vecteurs de l'ellipse,
r = a — efXCP=:fl — <?Xa cosKCA = a{i — ccosKCA) ;
mais
;8) r = a{i — ercosu],
d'où
cosKCA = cosu et KCA = u.
L'angle u est appelé V anomalie excentrique de la planète, taudis que Tanglc MOA =0 — Ci) se nomme Vano^ malie 'vraie. On pourrait maintenant éliminer u entre les équations (7), (8); mais il vaut mieux conserver ces deux équations avec la variable auxiliaire u. En donnant
SlCAM. — J/éc, I. *6
2l4^ COURS DE MÊCANIQUC.
à cette variable toutes les valeurs possibles, on en déduira ensuite les valeurs correspondantes de r et de t.
319. On peut trouver une équation entre Tanomalie vraie et l'anomalie excentrique. On a
r = a(i — ecostt) = ; — ^ r-r-^ :;
^ ' l-f-tfCOS(ô— m)'
d'où résulte
1 — tf* tfcos(0 — w)-4-tf*
eCOStt = 1 TZ ^, = 77 ^, j
i-f-tfcos(0 — «) 1 +tfcos(0 — ai)
(i -f-tf)ri-f-cos(o— w)i
I 4- COSa = ^— 'f rr-^ ,— '-■ ,
