SUITE DE LA COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES

Calcul de It résultante d'un nombre quelconque de Torces appliquées en un même point. — Conditions d^équilibre de plusieurs forces concourantes. — Équilibre d'un point assujetti à demeurer sur une surface^ — sur une courbe.

CALCUL DE LA RÉSULTANTE D*UN «OMBRE QUELCONQUE ^' DE FORCES APPLIQUÉES EN UN MÊME POINT.

10. On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point A.

Eu effet, menons par ce point trois axes rectangulaires quelconques Ax, Aj^ Az, Soient a, j3, y; a', ^', y'. . • .» les angles que les directions des forces P, V\ V\ . . . font avec les axes Ax, Aj^ Az,

Si Ton décompose la force P en trois autres dirigées suivant les axes, ces composantes seront représentées, quant à la grandeur et au signe, par

Pcosa, Pcosp, Pcosy.

Des expressions analogues représenteront les composantes des forces P', P''^, .... En désignant par X, Y, Z les résultantes des forces dirigées suivant les axes, on aura

IX- e cosa H- l*' cosa -+- P'^ cosa" -h . . . , Y^-Pcosp-hP'cosp'-.-P''cosp"-f- .., Z =:: P COS7 H- P' COS7' -r- P" COSy" -j-

La question est donc ramenée à la composition de trois forces appliquées à angle droit en un môme point. En appelant R la grandeur de la résultante, et a^ b^ c les

lO COURS DE MÉCANIQUE.

angles qu'elle fait avec les axes, on aura (17)

cosflr= —5 cost>= ~ï cosr=— .

ti A K

20. Uintensité de la résultante ne dépend pas du choix des axes ou des angles a, (3, y; a', |3', 7', ... : il doit donc être possible derexprimer indépendamment de ces quantités.

En effet, élevons au carré les équations (i) et ajoutons-les. En observant que Ton a

X'-hY^-l-Z' — R%

cos'a -h cos'p -h cos'7 ---^ 1 , cos* a' -4- cos' p' -h cos* 7 ' — 1 ,

il viendra

H- aPP' (cosa ces a' + cosp cosf' -h COS7 cosy' )

Mais si l'on désigne par (P, P') Tangle que font entre elles les directions des forces P et P', on a

cosa cosa' -h cosp cosp' -h COS7 CO87' = cos(P, P').

Par conséquent, on a

( R'i==P>-hP'=-hP''»-4-...

^ ^ ( H-2PP'C0S(P, P')-h2PP"cOS(P, P*')-^...,

formule où la grandeur de la résultante est exprimée en

fonction des intensités des forces et des angles qu'elles font entre elles.

Si Ton considère R, P, P',. • • comme les côtés d'un polygone, cette équation donnera la valeur d'un côté en fonction des autres côlés et des angles que ces côtés font entre eux. Il en résulte ce théorème : Le catré d*un côté d*un polygone est égal à la somme des carrés des autres côlés, plus deux fois la somme des produits de ces der»

DEUXIÈME LEÇON. II

niers côtés pris deux à deux et multipliés par le cosinus» de V angle qiiils forment.

21 . Au lieu de décomposer, comme nous venons de le faire, la force P en trois forces dirigées suivant les trois axes Ax, Ay, A^, on peut la décomposer en deux forces agissant, Tune suivant Ax, et Tautredans un plan zKy perpendiculaire a Ax. La composante suivant Ax est représentée en grandeur et en signe par Pcosa. On dit alors que P cosa représente la force P estimée suii^ant la direction A X. Sous ce point de vue, les équations (i) donnent lieu au théorème suivant :

La résultante de plusieurs forces, estimée suisfant un axe quelconque, est égale à la somme de ces forces estimées suix^ant le même axe,

COADITIOfiS D^ ÉQUILIBRE DE PLUSIEURS FORCES