CAS D UNE ORBITE CIRCULAIRE OU PRESQUE CIRCULAIRE
321. La théorie indique que Tellipse peut se réduire à un cercle. Dans ce cas e = o, r:^ a et le carré de la
vitesse v"= - devient constant. En même temps, la force
accélératrice
fi |X tfP* I»*
r* a^ fl> a
est aussi constante et égale à la force centripète -•
322. Quand le nombre e est très-petit, on peut déterminer approximativement Tanomalie excentrique z/, le rayon vecteur r et Tanomalie vraie 0 — w, en fonction du temps i. De Féquaiion
ni=:ii — esinu,
on déduit
u = nt-^esiB (ni H- e sinu)
ou
a^znt-^- tfSÎn/ircos(ffsinM) H- es\n{eûnu) cosnt.
Maintenant, comme e est supposé très-petit, convenons de ne conserver, dans ce qui va suivre, aucun terme qui contiendrait e à une puissance supérieure à la première. Alors on devra simplement prendre i pour cos (esin u), esinu pour sin(esinu), et négliger esin(esinu). L'équation précédente devient
(i) ir=:/i/-H tfsinwr.
En remplaçant u par cette valeur dans Téquation r=sa{i — 0cosii) et négligeant, comme ci -dessus, les
^44 COURS DE MÉCAKIQUE.
puissances de e supérieures à la première, on oblicnl de
même
(2) r = a{i — ecosnt).
Enfin, pour avoir la relation entre B et t, on pari de Téquation r^d6 — cdt. On a
et
c'est-a-dîre
r= <î(i — e^) [i — ecos(0 — «) -+- tf'cos»(ô — «) — j
ou simplement
r = û[i — tfC'Os{6 — w)li
en négligeant les puissances de e, supérieures à la première. On en déduit au moyen de la mùme simplification
et par suite, à cause de
r^dQ = cdi = na} y 1 — ^'^^
on a
[1 — 2Éf cos(ô — w)]£/9 = ndi^
d'où. Ton tire, en intégrant,
e — » = /ir -H 2c ain (0 — »).
Enfin si Ton remplace sin (0 — «) par
sin[/ïr -h 2e5in(e — «)]= sin/ircos[2^sin(e — «)]
-f-cos/îrsin[arsin(ô — •»)]!
il vient, en développant et négligeant comme précédem-
TUrGT-CIVQUIÈlfB LEÇOlf. ^4^
ment les termes qui contiennent en facteur une puissance de e supérieure i la première,
(3) 0 — «» = /ir4- a^sin/i/.
Les équations (i), (a) et (3) sont celles auxquelles on voulait parvenir.
323. Quand e = o, la formule (a) donne r= a et fait voir que la trajectoire est un cercle. En même temps, Téquation (3) montre que Tangle 0 augmente proportionnellement au temps ^ donc la vitesse est constante, comme on l'avait déjà conclu d'aulres formules.
D'après cela, AMA' étant Forbîte d'une planète, décri- Fig. io6. vons du point O comme centre^
avec un rayon arbitraire O^r, une circonférence de cercle. Imaginons maintenant qu^un mobile quelconque m se meuve sur cette circonférence avec une vitesse constante, de telle sorte que ce mobile et la planète se trouvent au même instant en a et en A sur le grand axe de Tellipse, et qu'ils accomplissent tous deux une révolution entière dans le même temps. La formule B — ci> = 7i£-|-ae s\n nt fait voir que, dans la première moitié du mouvement, c'eslà-dîre de A en A', le rayon vecteur OM précédera Om et que l'inverse aura lieu dans la seconde période du mouvement
CAS d'uke parabole.
