SUR UNE SURFACE

24. Nous avons supposé jusqu'à présent que le point A, k part Taction des forces P, P', P'', . . . , était parfaitement libre dans Tespace. Les conditions d'équilibre ne seraient plus les mêmes si le point était assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée.

Dans le premier cas, si le point est sollicité par une force R normale à la surface considérée; il devra être en repos. Car il ne pourrait commencer à s'éloigner de sa position que sui-

DEUXIEME LEÇOIf. l3

yanl la direction d^unc des langentes à 1a surface au point A, et comme toutes les tangentes font un angle droit avec la direction AN de la force, il n'y a pas de raison pour que le mouvement naisse dans un sens plutôt que dans un autre; donc le point A restera en repos.

Au contraire, si le point A est sollicite par une force S, dont la direction ne soit pas normale à la surface, il ne restera pas en équilibre. En edet, on peut décomposer la force S en deux autres, Fune dirigée suivant la normale AN à la surface, l'autre suivant Tune des tangentes AT à cette surface, savoir celle qui est à Tintersection du plan tangent et du plan SAN. La première force ne fera que presser le point sur la surface; mais la seconde aura tout sou effet, et dès lors le point A glissera sur la surface.

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point A, placé sur une surface et sollicité par des forces quelconques P, P', P", . . . , reste en équilibre, est que ces forces aient une résultante R normale à la surface.

FJC- 9-

25. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons trois axes rectangulaires quelconques Ox, Oy^ Oz, Appelons a, /3, y\ «', P', y';..., les angles que font les forces P, P', P'', . . . avec les axes. Il y aura équilibre si nous introduisons une force N égale et directement opposée à R. Donc si X,

|x, V désignent les angles que la force N (dirigée suivant AI

ou hV) fait avec les axes, nous aurons

N CCS > -h P cosa -h P' cosa' -'r- . . . ^= o, N cosp -f- P cosp -f- P' cosp' ^- . . . = o. ( N ces V -f- P COS7 -i- P' C0S7' -;- . . = o.

Ces trois équations peuvent être mises sous une forme

l4 COURS DE MÉCANIQ17B.

plus simple. En effet, soit

réauatîon de la surface ; on aura (3) cosXr=±: — .=:=^

Il faut laisser le double signe, parce que la force inconnue N peut tirer de A vers I ou de A vers F. Si l'on pose,

pour abréger,

v/(l)'-il)'-(i7

on a

(4) COSX=:V^, cOStt=:V^, COSv =:. V ^•

^^' €ix ^ dy dz

De plus, si X, T, Z désignent les sommes algébriques des forces P, P', P^v? estimées suivant les axes Ox, Oy,

Oz, on a

X =r P cosa -f P' cosa' -+-...,

Y =^ P cosp -f- P' cosp' -f . . . ,

Z =:: P COS7 -f- P' COS7' H- . . . •

Les équations (i) deviennent donc

(5) ^NV^H-Y^o,

dz

Comme N est une inconnue auxiliaire, on trouvera les conditions d^ équilibre cherchées en éliminant N ou N\ entre ces équations, ce qui donne

djc djr dz

DEUXIÈME LEÇOH. l5

On énonce ce résultat en disant que les sommes des forces estimées suwant trois axes dowent être propor^ tionnelles respectivement aux dénuées partielles du pre^ mier membre de t équation de la surface, rapportées au point d^ application,

26. Si les équations (6) sont vérifiées, il y aura équilibre, et il sera facile de connaître le sens suivant lequel agit la résultante des forces P, P', P^"^, . . . , car on a

ce qui montre que V est de signe contraire a Tun quelconque de ces quotients. Quant à N, qui est la pression exercée sur la surface par les forces données, elle sera représentée par Tun des trois quotients

■rf/

dy

dt

dx iiy dz

27. Les deux équations de condition, trouvées plus haut, auraient pu être établies plus rapidement, en observant que les cosinus des angles que fait la résultante des forces P, P', P'', . . . avec les axes sont proportionnels à

et que les cosinus des angles que fait la normale AN avec les mêmes axes sont proportionnels à

dx djr dz

On exprimera que ces deux directions coïncident, en écrivant que leurs cosinus sont proportionnels, c'est-à-dire que

dx dy dz

l6 COURS DE MÉCANIQUE.

28. Si, donnant seulement les directions et les intensités des forces P, P', P'', . . . , on ne fixait pas la position du point A sur la surface, il faudrait joindre, aux deux équations d'équilibre, l'équation de la surface

ce qui déterminerait complètement les coordonnées du point A.

ÉQUILIBRE d'un POINT ASSUJETTI A DEMEURER