COURS DE MltC.lKIQUE
Sî l'on veut avoir le rapport de deux forces ou tensions quelconques, on mulli pliera un cerlaîn nombre de ces proportions terme à terme.
39-i. Lorsque Ton connaît la grandeur et la direction des forces, les conditions d'équilibre peuvent s'exprimer analytiquement par trois équations. Appelons «? *j c] c,f, g\ a, P, y, a', p', 7',. . . , les angles que font avec trois axes rectangulaires les directions des forces données H, K, P, P',. . . , on aura
H cos« -f- K cos^ -} Pcosa 4- P' cosa'
(i) < Ucos6 -h Kcos/-|- Pcosp-r P'cosp'-i- . . . - : o, ( H ces c -, K COS^ H- P COS7 -f- P' COS7' n ... - - o.
395. Réciproquement, si ces conditions sont re;nplies, c'est-à-dire si les forces sont telles, ^iie, transporiées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, elles s^y fassent équilibre , il y aura toujours une figure {Céquilibre : en d'autres termes, on pourra toujours assigner au polygone dont les côtés sont donnés, une figure telle, qu'il demeure en équilibre sous l'action de ces forces.
En effet, plaçons le premier côté AB du polygone dans la direction de la première force H. Dirigeons ensuite le §econd côté 6C dans le prolongement de la résultante X des deux forces H et P. Plaçons de même le côté suivant CD dans le prolongement de la résultante des forces X et P', ou, ce qui revient au même, des forces H, P, P' transportées parallèlement à elles-mêmes au point C, et ainsi de suite. 11 est évident, d'après celle constiuction, que les sommets B, C, D resteront en équilibre sous l'action des forces H, P, P', P"^ il en sera de même du dernier sommet E. En effet,, il résulte des équations (i) que le cordon EF a la direction de la force K et que celle-ci est égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces H, P, P', V\ P''^.
TRENtlfeME LEÇON. 35
396. Supposons jfixées les extrémités A et F du polygone funiculaire, dont la forme est donnée. On peut supprimer les forces H et K, sans détruire Téquilibre. Or, en supposant connues les forces P, P', P^', , . . , on peut se proposer de déterminer les pressions que supportent les points fixes A et F, pressions égales et contraires aux forces H et K.
Puisqu'on, suppose connue la figure du polygone, on coanaîi les. directions (a, i, c) ; (<?, /, g) de ces pressions. Lears intensités s'obtiennent au moyen des deux proportions
H __ sioPBC K^ sîn DKP*' P ■" sinABC' P"^ ^ siiiDEF *
397. Si la figure du polygone n'est pas donnée, on aura, pour détermine" les huit inconnues H, K, a, i, c, <?,/, g^ diabord les cinq équations
H cosa H- K cosfc' -f- P cosa -f- . . -r o, H cosb -T- K. cos/n P cosp -7- . . 1 o, H cosc -i- K cos^ -+- P C0S7 -î- ....:: o;
cos^a -I- cos'A -I- COS^C r - i^
COSV -î- COS»/ 4 COS*g r- l .
Onobtieodra trois autres équations en exprimant que la cliiïéreRce des coordonnées de même nom des extrémités A et F du polygone est égale à la projection du polygone sur l'axe correspondant.
CAS ou IL Y A DES ANNEAUX
398. S'il y a au sommet B un anneau tiré par la force P, et dân» lequel passe le seul cordon ABC, on aura (386) H^ X et la direction prolongée de la force P partagera Tanglc ABC en deux parties égales. La même chose peut se éire'de tous les anneaux, en sorte que si tous les sommets portent des anneaux, les tensions de tous les cordons
sont égales, d'où résulte que H = K. Toutes les forces peuvent alors s^exprimer au moyen de la tension H ci des angles B, C, . . . du polygone par les formules
P= 2HCOS-B, P'=2HC05--C,
399. Si Ton se donnait la iigure du polygone, on connaitrail par là en grandeur et en direction les forces quMl faudrait appliquer à chaque sommet pour le tenir en équilibre. Ces forces prises en sens contraire seraient les pressions exercées sur les points 6, C, D, . . . s% devenaient des points fixes sur lesquels passerait la corde ABC... F.
400. Supposons que les cordes extrêmes AB, EF soient dans un même plan. Soit I le point de rencontre
Fig. i3/|. de leurs directions, et soit U
une force égale et contraire à la résultante de H et de K. D'après un principe connu (391), U est la résultante des forces P, P', P", P'''. Par conséquent, pour avoir la tension des cordons extrêmes, il suffit de décomposer suivant leurs directions la résultante de toutes les forces transportées
parallèlement à elles-mêmes au point de rencontre de
ces cordons.
401 . Si toutes ces forces sont parallèles, si elles représentent des poids, par exemple, tout le polygone est compris dans un même plan vertical. Pour exprimer que toutes les forces transportées parallèlement à ellesmêmes en un point se font équilibre, il suffira de deux équations. Si Ton prend deux axes dans le plan des forces, l'un horizontal, Tautre vertical, et si a et 6, eeij
TRENTIEME LEÇOH» 3j
sont les angles formés avec ces axes par les cordons ex*
trémes, on aura
H cosa -4- K costf = o ,
H cosô -f- Kcos/-f- P -f- P'-4- P^'-f-. . . = o;
la première équation exprime que les composantes horizontales des tensions H et K sont égales et contraires.
CAS ou IL Y A PLUSIEURS CORDONS A UM MÊME SOMMET
DU POLTGOUE.
402. Nous avons supposé quMl n^y avait que trois forces appliquées à un même sommet du polygone. Quand un nombre quelconque de cordons, sollici tés par des forces, se réunissent en un même point, il faut, pour Téquilibre, que Tune quelconque d'entre elles soit égale et di* rectement contraire à la résultante de toutes les autres. Fig. i35. Si l'on fixe un point sur chacun
des cordons, excepté sur un seul AP, on peut se proposer de trouver les pressions que la force P exerce sur les points fixes. S'il n'y a que trois cordons, non situés dans le même plan, la question se résoudra en décomposant la force P en trois autres agissant suivant les prolongements des cordons. S'il y a plus de trois cordons, le problème devient indéterminé, puisqu'on peut décomposer la force P d'une infinité de manières en d'autres forces dirigées suivant ces cordons. Cette indétermination est analogue à celle que l'on rencontre quand on cherche les pressions exercées par un corps contre un plan sur lequel ce corps repose par plus de trois ]^K>ints.
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