ÉQUILIBRE D^UN HL FLEXIBLE
Direction de la tension dans un fil en équilibre. — Équations de Téquilibre d'un fil sollicité par de petites forces. — lnt«(;ralidn de ces équations. — Valeur de la tension en chaque point du fil. — Forme affectée par le fil.
DinECTIOIf DE LA TErîSIOM DANS UN FIL EN ÉQUILIBRE.
403. Soit AMB un fil flexible, d'une très-peiîie épaisseur, attaché par ses extrémités à deux points fixes A et B,
Fig. i36. et dont tous les points sont solli-
J f B cités par de très-petites forces.
Soit M un point quelconque <J de ce fil. Les deux parties AM, MB exercent Tune sur Tantre, dans Tétat d'équilibre, des actions moléculaires égales et contraires. On ne connaît pas la nature de ces actions, mais on admet que toutes celles qui proviennent de AM agissant sur MB, se réduisent à une force unique T appliquée au point M, et As même que la partie MB exerce sur AM une action qui se réduit à une force égale et contraire à T. La valeur commune de ces deux forces est ce qu'on appelle la tension du fil au point M. On pourra donc, si l'équilibre existe, supprimer la partie AM, pourvu qu'on applique au point M une force égale à T,
404. En considérant le fil comme la limite d'un polygone funiculaire dont les côtés deviennent infinioieui petits, on est conduit à admettre que la tension s* exerce suivant la tangente au point M à la courbe que forme
TRBHTE ET UfîIEME LEÇON. 3g
le fil. Maïs on peut démontrer directement ce principe de la manière suivante :
Fixons un point M', voisin de M, sur le fil et solidifions la partie intermédiaire MM'; Téquilibre ne sera pas troublé. Mais alors, d'après les conditions d'équilibre d'un système dans lequel se trouve un point fixe, les couples qui résultent de la translation au point M' de la force T et des forces qui agissent sur tous les points matériels du fil compris entre M et M', doivent se détruire. Comme ces forces ne sont pas nécessairement dans un même plan, le moment du couple (T, — T) est moindre que la somme des moments des couples provenant de la translation des autres forces ou au plus égal à celte somme.
Si Ton abaisse la perpendiculaire M' H sur la direction de la force T, et si Ton désigne par 0 Tangle M'MH, le moment du couple (T, — T) est
T.M'H-T.MM'sinO.
Soient jx la masse d'un point compris entre M et M' et P la force appliquée à ce point, rapportée à l'unité de masse; fxP sera la force motrice appliquée à ce point. Le moment du couple (/ixP, — fxP) est plus petitque /jiP.fjiM' et à fortiori que (aP.MM'.
La somme des moments de tous les couples analogues est donc moindre que MM'.P, 2f/, P^ désignant la plus ;,'rande valeur de la force P dans toute la portion MM' du fil et SfJL la somme des masses des molécules qui composent cette portion du fil.
On a donc
T.MM'sine<P,.MM'2a,
d'où
sm9<-^ 2pi.
La tension T a une valeur finie , car elle doit faire
4o COURS DE MÉCANIQUE
équilibre aux forces qui sollicitent la partie BM. Comme rinégalité précédente a lieu quelque petit que soit Tare MM', on voit que si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, sinO et par conséquent 0 deviendra plus petit que toute quantité donnée. Mais à la limite la corde MM' devient la tangente en M à la courbe; donc c*est suivant la tangente qu'agit la tension T.
ÉQUILIBRE d'un FIL SOLLICITÉ PAR DE PETITES FORCES.
405. Cherchons maintenant les conditions d'équilibre d'un fil AMB, fixé à ses deux extrémités A (a, Â, c) et lî (a\ b'y c') et dont tous les points sont sollicités par depe-
Fic. 137. tites forces. Soient M (jc, r, «)
et M'(.r-f-rfx,j-H-^,z-i-dr) deux points infiniment rapprochés sur le fil. Soit MM' = ds. Si T et T' sont les tensions du fil aux points M et M', Tare MM' doit être en équilibre sous Faction de T, de T' et des forces qui sollicitent les points compris entre M et M'. Cet équilibre a encore lieu, si Ton suppose Tare MM' solidifié. Donc les forces doivent être telles, qu^en les transportant parallèlement à elles-mêm^s en un point elles se fassent équilibre.
406. Soient e le produit de la section normale par la densité au point M, P la force qui agit en ce point, et X, Y, Z ses composantes parallèles à trois ases Ojt, Oy, O^. L'arc MM' étant infiniment petit, on peut considérer e, X, Y, Z comme constants pour tous les points de MM'. Or T agissant dans le sens M' M, ses composantes seront
^dx dr ^dz
ds ds ds
Les composautes de T' seront égales à celles de T, prises en sens contraire et augmentées de leurs diflérenti elles,
D'ailleurs en considérant MM' comme un petit cylindre,
X f ^, Yi dsy Z e ds,
sont les sommes des composautes des forces qui agissent sur les points de Tare MM'. On a donc
ii^^)
-f \ids ~— o,
(I) i''(Tê)-'-'^"^* = '»
-f- z i rff r:.- O.
Dans la question qui nous occupe il n'y a qu\me seule variable indépendante; supposons que ce soit x. Les équations (i) serviront à déterminer j^, z, etTinconnue auxiliaire T en fonction de x. Ces équations sont nécessaires et suffisantes, et nous allons vérifier, après leur intégration, que si elles ont lieu, toutes les forces qui agissent sur le iil, en y comprenant les tensions K et K', aux extrémités A et 6 de ce fil, satisferont aux six équations générales de Téquilibre,
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS (l).
407. Intégrons d'abord la première des équations (i) par rapport à 5, entre les limites qui correspondent aux extrémités du fil, dont la longueur est /, cm aura
Soient c,y, g; e\f\ g' les angles que les tangentes a
la courbe aux points  el R font avec les axes, et K, H les forces qui proviennent de la fixîtd des points A, B, forces égales et directement opposées aux tensions des éléments extrêmes J 11 fil. Cette équation devient
Kcos^r -h K'cosc' -^ i Xsds^^zo;
elle signifie que la somme algébrique des composantes parallèles à Vaxe Oar, de toutes les forces qui agissent sur le fil, est nulle. En intégrant les deux autres équations du système (i), on arriverait à la même conclusion, par rapport aux deux autres axes. Ainsi les trois premières équations de l'équilibre (3tia) sont satisfaites.
408. On peut aussi retrouver les équations des moments. Multiplions les deux premières équations (i) par y et Xy et retranchons la première de la seconde. Il en résulte
fis
Or
yd (t y\ ^- (yx — Xr) «rff = o.
par conséquent, en intégrant entre o et /, on aura
K («ces/ — ^co5<?) -T- K' («t'cos/* — b'cose')
-^ Ç {Yj: --^ Xj) €ds — o
Cette équation signifie que la somme fief moments de toutes las forces qui agissent sur le fil, par rapport à Vaxe O^, est nulle. On obtiendrait de même les équations dos moments par rapport aux deux autres axes.
La même cliose peut se dire d'une partie quelconque du fil, pourvu qu'on joigne aux forces qui sollicitent tous ses points, deux forces appliquées tangcntiellement à ses extrémités et équivalentes aux tensions que cette partie éprouverait de la part du reste du fil.
409. La première des équations (i) peut être mise sous la forme
flfT -— 4-T^--- -f-Xec^j — o.
ds ds
Soient a, |3, y les angles que la tangente au point M fait avec les axes et X, fx, v les angles que le- rayon de courbure p fait avec les jnèmes axes : on a
dx dx dscosk
-=cosa, rf^=__5
les équations (i) peuvent donc sMcrire comme il suit :
'ïds «fXcosa H cosX 4- Xi^J = o,
Tds (4) < rfTcOSS H COStt -h Yids n= o,
P aTcosv "^ cos^ "*" Ztds ^:zo.
Sous cette forme elles expriment qu'il y a équilibre entre la force dH dirigée suivant la tangente, la force
— dirigée suivant le rayon de courbure et la force
motrice Vtds de rélément de masse. D'où l'on cortdut que le plan osculateur à la courbe est détermine par la tangente et par la direction de la force P. '
