SUR LES DIVERS MOUVEMENTS VIRTUELS DO» SYSTÈME
463. Un mouvement virtuel quelconque se compose de 3w — I mouvemenls virtuels particuliers et distincts.
Soient d^x, diy^ $iZ^ àiOc' , ... les variations des coordonnées des points pour un premier mouvement ; dt ^9 ^tjft ^2^9 ^i^S • - • pour un second mouvement. Enfîn, k étant égal à 3/i — i, soient (J^x, ^^j^ diZ^ à^x^ ... les variations des coordonnées pour un k'^"^ mouvement. On a les équations
dL ^ dh ^ dL ^ dh ^ ,
dx dy dz dx
(i) {^M ^ </M ^ d^^ rfM ^ ,
auxquelles on satisfera de la manière la plus générale, en supposant
^X =: tf , ^, X -\- Qt^tX -h €1, ^, X H- . . . -f- «I ^1 jr ,
ly zr:: fl, ^,^ -|- tf, ^jj 4- «i ^j^ -l~ ...-«- ûi ^Ij,
9x' = Ot ^1 x' -h a» ^jx' -h «3 ^s ar' -h . . . r^ <ï* 9k ^,
ai , Us y . . . , Ht étant des indéterminées au nombre de A ou de 3n — i. En effet ces valeurs satisferont aux équations (i)^ ensuite parmi les 3 A varialions, il y en a A auxquelles on peut donner des valeurs tout à fait arbitraires. En déterminant convenablement les k facteurs âi y as , • . . , ajiy ces variations restant au nombre de i se trouvent déterminées par les formules (a) de manière à satisfaire à toutes les équations (i). Donc, etc.
Il faut toutefois qu'il n'y ait pas de relations linéaires entre 5iar, dj/, ... de la forme
btSix -h b-i^iX -+- . . -f- ô| J* X r= o.
fc, ^1 x' -{- ^t ^, x' -4- ... H- ^4^4.r'=o,
8o COURS DE MÉCANIQUE*
c'est-à-Jîre qu'aucun des déterminants provenant du
système
9i or, 9i Xf ^1 2, J, jr' , . . . ,
SyX^ SjJTy d^Zy oj.r', . . . ,
Sk^y àkX, J*z, ^*j:',. . . 5 ne soit égal i zéro.
464. Ainsi comme application la plus simple, pour l'équilibre d'un point libre il faut et il suffit que la somme des moments virtuels soit nulle pour trois déplacemeuis virtuels quelconques du point, et Ton choisit les trois déplacements virtuels parallèles aux axes. Tout autre déplacement virtuel est composé de ces trois-là.
Pour un point situé sur une surface donnée, deux déplacements particuliers suffisent, et sur une courbe un seul déplacement est possible.
465. En général soient L = o, M = o , . . . les équations de condition. On prendra Zn — /quanti tés o, if*, 0, . . . fonctions de x^j^ z, x',... et dont les variations seront toutes arbitraires. L'équation des vitesses virtuelles devieudia
et comme ^L, c^M, . . . sont nulles et que (^<p, Jd, . sont arbitraires, on aura
4»r--zo, ^=0, 0 = 0...
TREHTE-CIKQUIËME LEÇON.
APPUGATIONS DU PRINaPE DES VITESSES VIRTUELLES.
Équilibre d*un système invariable. — Cas où le système est gêné par quelque obstacle. — Equilibre du polygone funiculaire. — Propriété de Téquilibre.
ÉQUILIBRE d'i3N SOLIDE INVARIABLE.
466. On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les conditions d^ équilibre d'un système solide, formé de n points matériels liés entre eux d'une manière invariable. Cherchons d'abord le nombre de ces conditions. Trois points étant pris au hasard dans le corps, pour exprimer que leurs distances mutuelles ne changent pas, il faut trois équations. Il en faut ensuite 3 (/z — 3) ou 3/i — 9 autres pour exprimer que les n — 3 autres points restent à des dislances invariables des trois premiers. Ainsi les liaisons du système établissent 3n — 9-f-3 ou 3» — 6 équations entre les coordonnées de tous ces points. Comme on doit avoir en tout 3 n équations pour déterminer les coordonnées des n points du système, il y aura donc six équations d'équilibre.
