On pourrait obtenir ces équations en appliquant
Fijj. i5o. la méthode générale;
mais il est plus simple d'imprimer au système six mouvements virtuels arbitraires et indépendants les uns des autres, de telle sorte que les relations / qui en résulteront en-
tre les forces, ne pou-
Stl'ku. — niée, II. 6
8 a COURS DE MÉCANIQUE
vant se déduire les unes des autres, seront précisément les six équations d'équilibre.
Le déplacement le plus simple consistera à faire mouvoir le corps parallèlement à Tun des axes, Ox par exemple, de telle sorte que tous ses points décrivent de petites droites A a, A' a', toutes égales. Alors SjTj dzy ijf\ dz!^ . . . , sont nuls et dx = iod = Sx!', ....
Dans ce cas l'équation générale
devient, en supprimant le facteur commun dx,
{2) . ^X=ro;
on aura de même
468. On obtiendra les trois autres équations d'équilibre en faisant tourner le corps successivement autour des trois axes. Supposons d'abord que la rotation s'effectue autour de O 2. Le point A décrira un élément Aâ d'une circonférence lAH de rayon AC = r et parallèle au plan xOy. Soit l'angle AGI = or>. On a d'abord 0 2=0, puis à cause dç
x=rcos«, ^ = rsîn»,
on a, la rotation étant mesurée par l'angle }&>,
Sx = — r siou 9^y êjr = rcosw ^o ou bien
Donc
thente-cinquième leçon. 83
et de même
X' Sx' -+- Y' Sx' -^ Z' $z' = (Y' x' - Xy) S<a.
On a donc, en substituant ces valeurs dans Féquation (i) et supprimant le facteur constant ico,
(5) ^ (Y* ~ Xjr) == o,
et de même
(6) ^(Zx^Yz) = o,
(7) \(Xz--Zx)=zo.
69. On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les équations des momenls sous leur seconde forme (367).
Décomposons la force P {Jig* i5o, p. 8i) en deux autres, Tune Z parallèle k Oz, Tautre Q située dans le plan du cercle lÂH parallèle au plan xOj, Imprimons au corps un mouvement de rotation, de manière que le point A décrive un petit arc de cercle A a dont le rayon AC est perpendiculaire à Oz, Abaissons CD = q perpendiculaire $ur la direction de la force Q et imaginons celle-ci transportée au point D. La force P est remplacée par les deux forces Z et Q. Or le moment virtuel de Z est nul, puisque Télément A a est perpendiculaire à cette force. Quant au moment virtuel de la .force Q appliquée au point D, c'est le produit de cette force par q do). On a donc, en appelant Pp le moment virtuel de la force P,
On aura de même pour les autres forces
P>' = Q' g' 5ai, P"/' =z: Q" ^'^ ^0) , . . . , el Téquation d'équilibre (5) devient
Elle exprime, comme nous Tavons vu, que la somme des moments des forces par rapport à Taxe Oz est nulle.
AUTRE MANIÈRE D'OBTElilK LES GONDITIOITS d'ÉQUILIBRE
d'cJK SYSTEME SOLIDE.
^70. Concevons les points du corps rapportés à un nouveau système d'axes rectangulaires. Les coordonnées {x^y^ z) d'un point seront liées aux nouvelles coordonnées par les équations
IX T^ a-^ a JCi -h b yi -h e Zif jr ~ 6 ^a'xi-hù'jTi-i- c' z, ,
et Ton aura entre les constantes a, a', . . . les équations de condition
-hb''
al
^'-hû
(3) \ ac -ha'c' -^al'c^ =o,
bc-^-Wd -+-ô"c"=:o.
Le système étant solide, si Ton conçoit que les axes des Xx , j^i , ^1 , en fassent partie, un déplacement quelconque du système changera la position de ces axes, aussi bien que x^jf Zy mais ne changera pas Xi ,/i , Z| . Donc
ISxz=$(x-\- XtSa -^Xx^b -hZiSCf dj = ^ -+- X, Sa' -hXi Sb' 4- 2, Sc\ Sz =z 8y -!- Xt Sa" H- Xi ^ b" -h z, Se''.
Supposons qu'avant le déplacement les axes des Xi^jx^ ^i? coïncident avec les axes des x^jj z, alors on aura
X'==x^f j'izi:^',, z:r=Z|^
TaEKTE-CINQUlÈME LEÇOlf. 8S
et par conséquent
a' =iOj b* =z ly c'rrzO,
a''z=:0, b^^O, C"=rl,
^a =o, 9b' =o, Sc"=:o (*),
et les équations de condition (3) donneront, parla différentiation,
Sb-h^a'zrzOf 9c -h Sa" = 09 9<^ -\'9b'' = 0. Posons
a'z=^9b = 9f^y 9e = '-Sa''=9y^, 9b''=:'-de'=:if^ on aura
9x = Soi /^» -f- 8^\|»,
9x = 9^ -^ x9tù — 3^^, 9zz=z9y — x9'^ — X^9*
et en substituant dans l'équation générale
(X9x 4- Y^^- -+- Z9z) = o, il vient
(^aV X + ^eV T-f. ^7 V Z -f- 5»y (Yar — X/)
^^y (Z/ — Yz) -4- ^+ y (Xz — Zar) =: o.
Les variations âa, âS^ • . • étant arbitraires, cette équation ne peut avoir lieu que si les coeiBcients de ces variations sont nuls; on retrouve ainsi les conditions exprimées plus haut (467, 468).
ÉQtriLIBRE n'vif SYSTÈME SOLIDE GÊNÉ FAR UN OBSTACLE.
471. Si le système renferme un point fixe O, on prendra ce point pour origine des coordonnées et on exprimera, au moyen de trois équations, que les distances
(*) Ces dernières équatioDs peuvent s'obtenir en difTéren liant les formules (3) et en introduisant les hypothèses a = i, a = o, . . . .
mutuelles des points A, A' et O sont constantes; puis par 3 (n — 2) équations que les distances des n — 2 autres points à A, A' et O restent invariables, ce qui fait en tout 3n — 6-h3ou37i — 3 équations de condiiion entre les coordonnées des points du système. Donc il y aura, dans ce cas, seulement 3 équations d'équilibre entre les forces. On obtiendra ces trois équations en faisant tourner le système successivement autour des trois axes. Il est évident d'ailleurs qu'à cause de la fixité du point O, il est impossible de faire mouvoir le corps parallèlement à un axe comme lorsqu'il était libre.
472. S'il y a deux points fixes O et H, ou, ce qui revient au même, un axe fixe OH, on prendra cette ligne pour axe des z. On exprimera, par deux équations, que les distances du point A aux points O et H sont invariables et, par Z {n — i ) équations, que les distances des n — c autres points aux points O, A^ H sont également invariables, ce qui fait en tout 3/i — 3-f-2 0u3n — i relations entre les coordonnées des différents points du corps. Ainsi le système est h liaisons complètes; et, en eiTet, un seul déplacement est possible, c'est un mouvement de rotation autour de Taxe OH . C'est par ce déplacement virtuel qu'on parviendra à la seule équation d'équilibre à laquelle les forces appliquées au corps doivent satisfaire (373).
