ÉQUILIBRE DU POLYGONE FUNIGULÀIRE
473. Soient A, A', A", . . . , A f"-*^, n points unis par Fig. i5i. des cordes formant un
polygone de /i — i côtés dont les sommets sont tirés par n forces P, F, F',..., ?(»-»). Il faut d'abord exprimer que les longueurs des côtés sout données et égales à /, l\
/'',...; en désignant par x^y^ z, x\ jr'^ z\, . . les coordonnées des points A, A', . . . par rapport à trois axes rectangulaires, on aura les n — i équations
r~V^(:c"-x7+(jr''— /)»-H(2"-2'j2 — o,
En diiTérentiant ces équations, on aura
ix-\-
dor'-f-
3z'=io
et n — a équations analogues. A ces n — i équations il faudra joindre la suivante
474. En employant pour Télimination des n variations la méthode générale des multiplicateurs et en faisant usage des mêmes notations, on obtient les 3r équations
88 COURS OE MéCANIQUB.
et
Xf. J. — " .17 X -^— X
(3) i^ -+■!*— 77— +v ^pr- = 0,
On aperçoit facilement la loi diaprés laquelle ces équations sont formées. En élimina|it entre elles les n — i indéterminées X, |ul, v,..., ou aura 3n — (n — i) ou an + I conditions d*équilibre.
475. Les quantités auxiliaires X, |ui, y,... ne sont autre chose que les tensions des divers cordons, eo
supposant ces quantités positives. En eflfet X — - — >
X*^ » X — - — sont les composantes parallèles aux
axes d'une force égale à X, agissant suivant AA'de A vers A'. Or les relations (i) font voir qne cette force X et ]a force P, appliquées au point A, se détruisent. Ainsi 1 mesure la tension du cordon AA'. On retrouve en même temps ce résultat connu (389) que la force P est dirigée suivant le prolongement de AA' lorsque le polygone est en équilibre.
Les équations (2), outre les composantes de P, contiennent celles d'une force égale et directement contraire à X, c'est-à-dire agissant au point A', suivant AA' de A' vers A. Les mêmes équations renferment les va* leurs des composantes parallèles aux axes, d'une force égale à fx et dirigée suivant A' A'' de A^ vers A'^ si la quantité fi est positive. Ces trois forces se font donc équilibre au point A^ Ainsi fi mesure la tension du cordon A'A''. On verrait de même que v est la tension du cordon A'' A''', et ainsi de suite.
476. II est facile de prouver que la tension d'un cordon quelconque est la résultante des forces qui agissent d^un même côté de celui-ci, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point de sa direction. Ce qui précède le démontre pour le premier cordon. Pour le second, il suffit d^ajouter deux à deuic les équations (i) et (2) : on a ainsi
