Deux corps pesants m et m' Aowl les masses sont

m et m^ sont placés sur deux plans inclinés AC, A'C^

et unis par un fil passant Fie. i54. ^ T ./.

sur une poulie située au

sommet des deux plans.

Les deux parties du fil sont B i^ ^S. respectivement parallèles à

ces deux plans et passent

par les centres de gravité des deux corps. Quelle est la loi du mouvement de cet assemblage?

On peut supposer que chacune des masses soit réunie à son centre de gravité. Soient Cm = a:, Cm'=^a/\ nommons a et a' les angles CAA', CA'A, et / la longueur

totale du fil.

En négligeant les frottements, la force motrice du point nij dans la direction de son mouvement, est mgsina^ et celle qui donnerait à ce point supposé libre

le mouvement qu'il a réellement est ^'jY* J^'^pr^^* 1© principe de d'Alembert, la force mgsina — m -— doit

faire équilibre à la force analogue m'gsinu' — ^''jT^

qui serait appliquée au point m' et tirerait ce dernier en sens inverse. On a donc

On peut éliminer x' au moyen de la relation

IIO COURS DE MÉGÀmQUB.

an en tire d'abord

d.r' dx

dt dt

Ainsi à chaque instant les vitesses des deux points sont égales et de sens contraires, ce qui était bien évident à priori. U en résulte aussi

d^j/ d^x d^où Ton conclut, en substituant dans Téquation (i),

, , d'^x (msînœ — w'sîna')

^^ dt^ ^ m -h m'

Sans aller plus loin, on voit que la force accélératrice du point m étant constante, son mouvement est uniformément accéléré. D^ailleurs on déduit de cette équation, pardeui intégrations successives,

,. djc (/Tisina — m' sinu')

(3) V ou — — g ^ -, '- 1 -he,

^ ' dt ^ /// -h m'

,,, fi^fwsina — /w'sina') *'

les constantes e et c' étant les valeurs de v et de x relatives à la position initiale du mobile m. Si Ton avait

/7i sina =: m' ûïia!y

on aurait

M nue, xz=zct-\-c',

et le mouvement serait uniforme. Si en outre on avait e = o, on aurait p» = o et x = c'. Ainsi le corps resterait en repos, ce qui s'accorde bien avec les conditions connues de l'équilibre de deux corps placés comme dans l'exemple actuel.

TREJNTE-SEPTIEME LEÇO». III

AUTRE MÂNIÊllB DE TRAITER LE PROBLÈME PRÉCÉDEKT.

500. Od peut dans cet exemple particulier se dispenser d'employer le principe de d'Âlemberi, en introduisant la tension T. On a

(i) m— =iwg^sma— T,

(2) iw'-^/w'g^sina' — T, d'où, en éliminant la tension T,

(3) m^^sina--^j=/ii'(g'sina'-^j.

Pour avoir la tension T, on tirera de celte équation, en

d^ af d"^ T

remplaçant -^ par — — ,

d^.T f^{m sîna — /n'sina')

et, portant cette valeur dans Téquation (i),

g mm' (sin a -4- sin vf )

(4) Ti-

Ainsi la tension du Gl est constante pendant toute la durée du mouvement.

501. Dans la détermination précédente, nous n'avons pas fait usage du principe des vitesses virtuelles. On arrive au môme résultat en remployant. Comme les deux forces

/ . d\T\ J . , d*Jc'\

lia COURS DB HÉCANIQtJB.

se font équilibre, on aura, en vertu de ce principe, mais d^ailleurs, à cause de a: -|- x'= /, on a

Eliminanl le rapport r-j entre ces dcus équations, on a comme plus haut

(ff «n« - ^) - «'(ff«n«' - :^^ = o.

Si Ton employait la méthode des multiplicateurs pour cette élimination, il serait bien facile de montrer que le coefficient X que Ton emploierait n'est autre que la tension T du fil. En eflet, multipliant Téquation (6) par — A et ajoutant à Téquation (5), on aura

et, en égalant séparément à zéro les coefficients de ix et de ^x\

m'\^^mo!^^^=\.

Ces équations ne diffèrent des équations (i) et (a) qu'en ce que T est remplacé par X. Ainsi X est bien la tension désignée plus haut (500) par T.

502. Le problème que nous venons de traiter donne la théorie complète de la machine d'Atwood^ en posant a=^ a' = 90^, ce qui réduit les formules (3) et (4) ^^

TRBKTE-SEPTIEME LEÇON, ll3

n^ 499, et (4) du 11° 500, aux suivaDies :

ff-fw — m') m -\- m

eim — m') /* m -{- m 2

CAS OU IL T A DBS PERGUSSIOIÏS.

503. Nous avons supposé que l'on connaîssail les vitesses initiales des deux masses. Concevons maintenant que celles-ci soient mises en mouvement par des percussions et déterminons, dans cette hypothèse, leurs vitesses initiales. Soient a et a' les vitesses que ces percussions imprimeraient aux masses m et m' si chacune d'elles était lihre, et désignons par c la vitesse cirectivc du point m après la percussion. La vitesse initiale du point /// sera — c •, car, à cause de x -h x' = /, on a

dt ^ dt'

Diaprés le principe de d'Alembert étendu aux quantités de mouvement Gnies, il doit y avoir équilibre entre les quantités de mouvement que les percussions communiqueraient aux deux points s^ils étaient libres et celles avec lesquelles ils commenceraient à se mouvoir, ces dernières étant prises en sens contraire. On aura donc

m [a — c) = m' [a' -+• c), d*où