AUTRE SOLUTION
506. On peut encore résoudre ce problème sans faire usage du principe de d'Alembert. Soient T, T', T'^ les tensions des trois fils. La tension T^, par exemple, est égale à Tune quelconque des deux forces égales et contraires qu'il faudrait appliquer aux points m! et m" pour remplacer le fil qui les unit, s*il venait à être supprimé. Or on a évidemment
dt ' , dv
dt dç
En ajoutant toutes ces équations, on a encore
de" U'
Il6 COURS DE MÉCANIQUE.
Il est ensuite facile d'obtenir les valeurs des tensions. On a
r'= (m + /«'-+- w")^- On voit donc qu'on a
et cela doit être, car la tension T'^ met en mouvemeiu trois niasses, tandis que T' n'en fait mouvoir que deux et T qu'une seule.
Dans ce qui précède on a négligé la masse des cordons. Si Ton en tenait compte, la tension serait variable dans rétendue d'un même cordon.
MOUVEMENT d'uNE CHAINE SUR DEUX PLAIIS IKCLI8ÉS.
507. Soit RGB' une chaîne pesante homogène qui repose sur deux plans inclinés disposés comme dans la fig, i54f p. 109, et faisant avec l'horizon des angles CAA'= a, CA'A = a'. Soient / la longueur de la chaîne. p la masse de Tunilé de longueur. Posons x = BC, x' = B'C, en sorte que l'on ait
( I ) or H- jc' = /.
Considérons une molécule fx prise sur la portion CB. Les forces qui la sollicitent sont la force motrice (AgsÎDot^ et
la force cffeclive pl—tt' Toutes les forces motrices fies
molécules de la partie CB et leurs forces effectives prises en sens contraire se composent en une seule
(gsin.-'!lf.y,f.,
TRENTE -HUITIÈME LEÇOlï. ItJ
OU bien
De même la différence entre les forces eflectives et les forces motrices de la partie CB^ sera
P^'(^"na'-^j
On aura donc, diaprés le principe de d*Alembert,
(2) ;r^g^sin«-^J=^'^^sina'--^j
d'où, en éléminant x' à l'aide de l'équation x + x' = /«
,ox ^'J^ (sina -h sina') . ,
(3) -^—S- -^ ix4-^sina' = o-
Telle C3t Téquation du mouvement.
508. Pour intégrer cette équation, posons, afin de simplifier,
(4) gfrina + sina') ^ ^.^ Tëquation (3) devient
d dt
'-r / /sina' \
-- — /îM X : : =.- O,
f/* \ sma H- siiia'/
OU bien
en posant
,^, /sina'
(6 X : ,=jr.
sin a -f- stu a
L'équatîon (5) a pour intégrale
on aura donc
, . /sîna' . .
(7) xz=- : — . -4- Ac*' -f- iJe-«%
•^" sina-+-sina'
A et B étant deux constantes. Pour les déterminer, on peut supposer connues la position et la vitesse initiale
du point B. Si pour t = o on a CB = x<, et — = v'o, on
aura
/sîna' ^
Xo m -. : — - H- A -f- B,
Au bout d^un certain temps facile à déterminer, toute la chaîne se trouve sur le même plan. Le mouvement change alors de nature et devient uniformément accéléré.
509. La condition nécessaire et suffisante pour que la chaîne reste en repos est que Ton ait
En effet, en remontant à la valeur de v ou de -p' <>"
reconnaît que Ton doit avoir
Aff"'— B<?-"' = o,
quel que soit f, ou, en multipliant par e""%
Ae""— B.
Or cette équation ne peut pas avoir lieu pour tontes les valeurs de t, à moins que Ton n'ait en même temps A =0,
B = o. Dans ce cas on a
/sinx'
r=z CB =
sinac -j sina'
x'^CB'= '*'"»
sma-T bina
TREKTE-HUITIÈMB LEÇOIT. II 9
et par conséquent
CB sina'
CB^ ~ sina '
Cette équation exprime que la droite BB' est horizontale, re que l'on pouvait prévoir,
S 10, On peut encore trouver Téqualion de ce mouvement en s'appuyant sur le principe des vitesses virtuelles. Ainsi les forces
étant respectivement appliqués aux points B et B^ dans la direction du mouvement que ces points peuvent prendre, il faut, pour l'équilibre, que Ton ait
D'ailleurs âx'= — Jx, puisque x + x'= L Substituant — (îo; à ^x', on arrive à l'équaiion précédemment obtenue»
MOUVEMENT DE DEUX POINTS ASSUJETTIS A DEMEURER SUR DEUX COURBES DONNÉES ET DONT LA DISTANCE EST INVARIABLE.
511. Voici un problème propre à bien faire comprendre l'usage des fonctions X, [l^ v, ..., introduites dans les équations du mouvement pour opérer une élimination.
Soient m et m' deux points matériels sollicités par ^'^Z' »56. deux forces P et P', constantes
p ou variables. Ces deux points sont assujettis à rester à une distance constante mm'= / l'un de r autre et à demeurer séparément sur deux courbes données /?/ A et /n'A'. On suppose, pour plus de simplicité,
lao COUnS DE MÉCANIQUE.
les forces et les courbes comprises dans un même plan xOy.
Prenons, dans ce plan, des axes rectangulaires Ojr, Oj^. Soient X, T, X', Y' les composantes, parallèles à ces axes, des forces P et P'. D'après le principe de d*Alembert et en conservant les notations habituelles, Téquation du mouvement sera
Soient (2) /(x, x) = Of f (x, jr)=zo
les équations des courbes m A et m'A'. On aura les trois équations de condition
Le système est, comme on voit, à liaisons complètes. Ces premières équations donnent
fL:Z±(Sx^Sj/) H- ^~^ (Sy-Sx') =0.
Alultiplions les équations (4) par trois facteurs indéterminés X, X',p, puis ajoutons-les avec Téquaiion (i). Égalons ensuite à zéro les coefficients de Jx, dj, Jx', J/f
THEMTE-HUITIÈME LEÇON. 121
nous auroDs
d^X ^ fif X — x'
dt^ dJT ^ l
\ dfi ' df ^ l
Ces équations font voir que les points m et m' se mouvraient comme des points libres, si Ton appliquait au point m deux nouvelles forces dont les composantes parallèles aux axes fussent égales respectivement à
df df x-^x' r— J' .
et au point m' deux forces dont les composantes fussent dff d<f x-^x' y— y'
Or ). -^ et X^ sont les composantes d'une force égale à
et normale à la courbe m A. Cette
force est égale et contraire à la pression que supporte la courbe m A dans le mouvement du point m.
X ~~~ Xf Y ^-^ Y
Pareillement fx — j— » fi - — -^ — sont les composantes
d*une force dirigée suivant mm' et dont l'intensité est [i. Les mêmes remarques s'appliquent au point m'. Les deux forces égales et contraires dirigées suivant mm' expriment les actions que les deux points /n, m' exercent l'un sur l'autre par le moyen du lien mm' : chacune de ces forces est égale à la tension ou pression qu'éprouve ce lien.
On éliminera X, )/, ix^ (jl' en multipliant les équations (5) par dx^dfj dx\ dy\ les ajoutant et en ayanr égard aux équations (3), il viendra
fPx tpY d}x^ fPr'
m^dx + m — dy + m-^dJ^m-^dy
= yidx H- Ydf -f- lUdj/ -h Tdy ,
équation qui revient à remplacer dans Téquation (i) ^-fi àji $x\ dy par dxy dj^ dx'^ dj'.
