DÉFINITIONS

512. On appelle moment cT inertie d'un point matériel par rapport à ua axe le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance à Taxe.

£S13. Le moment d'inertie d'un système de points matériels dont la forme est invariable, par rapport à un axe, est la somme des moments d'inertie de tous ces points par rapport à cet axe. Ainsi w, m', m'\ . . . , étant les masses des molécules et r, r', r", .... leurs dislances respectives à Taxe, le moment d'inertie du système sera

mr^ -i- /;iV» -;- m" /^* h-

Nous le désignerons ordinairement par Zmr*.

514. Les points matériels qui composent un corps n'y sont pas répandus d'une manière continue : on sait, au contraire, qu'ils sont séparés entre eux par des espaces vides qu'on appelle des pores. Cependant on peut dans chaque cas obtenir le moment dHnertie, en supposant la masse distribuée d'une manière continue dans le corps. Cela revient à prendre, au lieu de Zmr^, l'intégrale définie de r*dm, pour toute l'étendue du corps, et, comme on l'a vu en Statique à l'oceasion des

124 COtJnS DE MÉCANIQUE.

centres de gravité des corps solides, les résultats de ces deux hypothèses diili&rent très-peu, pourvu que les pores soient extrêmement petits relativement au volume de tout le corps. Il suffira donc de décomposer le corps en une infinité d^éléments infiniment petits; on prendra le moment d'inertie d'un élément quelconque, et l'on aura celui du corps par des intégrations.

Fig 157.

MOMENTS d'inertie d'uN PÀRALLÉLIPIPI^DE KEGTAlTGLE.

515. Soit AE un parallélipipcde rectangle, et proposons-nous de trouver ses moments par rapport aux trois

arêtes conliguës OA, OB, OC.

Soit m {x,yj z) un point quelconque de ce solide. L'élément qui correspond à ce point est un parai léli pi pëde mm' infiniment petit dont le volume est dx djfiz et la mhsse pdxdydzy p étant la densité de ce corps que nous supposons constante dans toute son étendue. La distance du point m à l'axe O^ est \/x*-hj'*. Donc le moment d'inertie de cet élément par rapport à Oz est

et, par suite, le moment du parallélipipède est

p i j j{x^'{-X^)dxdxdz.

Cette intégrale triple doit s*élendre à toutes les valeurs positives de jc, y, z respectivement plus petites que a, £, c ou que les longueurs OA, OB, OC des arêtes du parallélipipède.

Comme z n'entre que par sa dilTérentielle sous le signe d'intégration, il parait plus simple de commencer àinté'

treutc-neuvieme leçon. laS

grer par rapport à cette variable entre les limites o et c, ce qui donne

On intègre ensuite par rapport à / depuis j^ = o jusqu'à Y=^b el enfin par rapport à x, de o: = o à x = a. On

trouve ainsi

abc , , .

pour le moment dMnertie du parallélipîpède. En appelant M la masse du corps, on a M == pabc. L'expression précédente sera donc -5- (a*-hi*). La même chose se dira

des autres axes, en sorte que les moments d'Inertie du parallélipîpède par rapport aux axes Ox, O/, Oz son

Si Ton suppose

on aura

ei Ton voit que, des trois moments d*inertie, le plus grand correspond à la plus petite arête et le plus petit à la plus grande. .

ellipsoïde homogekb.