ÉQUILIBRE DES FORCES PARALLÈLES

47. La condition nécessaire et suffisante pour que plusieurs forces parallèles P, P', P', ... se fassent équilibre, est

'^' T*' I que l'une d'elles, P par exem*

pie, soit égale et directement opposée à la résultante R' de toutes les autres. Pour exprimer cette condition par Tanalyse, prenons trois axes, dont Tun OZ soit pa-

^ rallèle à la direction des forces.

La force P et la force R' se faisant équilibre, on doit

avoir

R'— — P ou P-f-R' = o;

mais

Donc une première condition d^ équilibre est qun l'on ait

(i) P-hP'H- P*'-4-... = o.

Il faut, en outre, que les directions des forces P et R' coïncident, par conséquent que Vx et \y de leurs points d'application soient les mêmes. Or, si a et J3 sont les coordonnées du point K, où est appliquée la force R', on doit avoir (43)

R'p=rzpy-f.pv'-4--...

Mais Duisque « = x, 13=/, R' = — P, il en résulte

thOisiëmb leçon. 2*

ces deux nouvelles équations d'équilibre

(2) PjrH-P'jr'-f-P''jî^-+ . . — O,

48. Réciproquement, si les coudi lions (1), (a) et (3) sont remplies, la force P sera égale et direcleuient opposée à la résultante R' des autres forces, et il y aura équilibre.

49. Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait équilibre sont données par les trois équations

1 Pj -î- 9' y 4- P" j" -h ... ni o.

On les énonce ordinairement en disant que la somme algébrique des forces doit être nulle, et que la somme algébrique des moments des forces ^ par rapport à deux plans parallèles à leur direction, doit être nulle pour chacun de ces deux plans.

50. Quand le système renferme un point Gxe O, les forces proposées ne peuvent pas, dans le cas de l'équilibre, se réduire à un couple. En eiret,si l'équilibre existe, le point O éprouve une certaine pression, déterminée de grandeur, de direction et de sens. Par conséquent, si Ton remplaçait la fixité du point O par une force L égale et directement opposée à cette pression, il devrait y avoir encore équilibre; donc un couple et une force unique se détruiraient, ce qui est absurde.

Il résulte de là que, dans le cas d'un point fixe, les forces doivent avoir une résultante unique, dont la direction passe par le point fixe, sans quoi cette force et la force L ne pourraient se faire équilibre. Celte condition est d'ailleurs suffisante.

Or, si Ton prend le point fixe pour origine et Taxe

a8 COURS DE mécahique.

des z parallèle à la direction des forces, la résultante des forces devant être dirigée suivant cet axe, ses moments, par rapport aux plans zOx et zOy^ devront être nuls, et par conséquent on aura

( Pjr-f-P'x'4-P***'4-... = 0, ^^' I P^-}-PVh-PV'-+-...=:o.

Dans ce cas les conditions d'équilibre se réduisent à deux.

Si le point fixe était le centre des forces parallèles, ces conditions seraient remplies d'elles-mêmes. Par conséquent V équilibre existe dans un système de forces parallèles quand on fixe le centre de ces forces, ce qui est d'ailleurs évident

QUATRIÈME LE^OM. a^