A DIFFÉRENTS POINTS
529. Les axes principaux relatifs à un point queU conque cTun corps sont parallèles aux axes principaux relatifs au centre de gravité de ce corps lorsque la droite qui joint le premier point au second est un axe principal relatif au second.
Soient O le centre de gravité d'un système de points et Ox, Oy, Oz les axes principaux relatifs à ce point. Par un point O' de Taxe Oz menons O' a:', O'j^' parallèk's à Ox et à Oj. Je dis que O'z, O'x', O'j' sont les axes principaux du système relatifs au point O'.
Soit M un point du système ayant x^y^ z pour coordonnées par rapport aux axes Ox, Oy^ Oz, e.x.x\y\ z par rapport aux axes O' x\ O'j', O' z'. Puisque les premiers axes Ox, Oy^ Oz sont des axes principaux par rapport, au centre de gravité, on a
\ mjz r=: o , \ mxz ^= o , \ mxj ==: o.
Mais, si Ton suppose le point O' situé sur Taxe des z à
ensuite
QUARANTIÈME LEÇON. l3g
une distance h du point O, on a
donc on a d'abord
\ m£ y* ^=- \ /war^mo;
Mais \ my-J est nul par hypothèse et \ my également , puisque le point O est le centre de gravité du système : donc \ rny z' est nul, et O' j' est un axe principal relativement à O'. On démontrerait de même que O'a:' est un axe principal relatif au même point.
POINTS FOUK LESQUELS LES MOMENTS PRINCIPAUX d'iNERTIE
d'un corps sont Égaux.
530. Prorlèue. — Qw^' ^^^ ^^ point d*un corps pour lequel les trois moments principattx et par suite tous les moments relatifs à des axes quelconques passant parce point sont égaux entre eux?
Prenons pour axes coordonnés OXyOy^ Oz^les trois axes principaux relatifs au centre de gravité du système donné. Soient a^ S^y les coordonnées d'un point O^remplissant la condition exigée» Alors trois axes rectangulaires quelconques ayant le point O' pour origine seront des axes principaux du système. Donc si Ton prend trois axes O' x\ O'y, O'z' parallèles aux premiers, on aura
\ mjr'z'=zOf \ mx'z'z^Oy \ mx* y' z=zO) mais on a
l40 COURS DE MÉCANIQUE.
et, puisque les axes prijultifs sont des axes principaui, \ mjz =0, \ mxz = o, \ mxjr = o,
Téqualion \ mx'y = o revient &
\ w(a:— a) (/--6) = o, OU bien
\ mxjr — S \ mx — a\ my -|- aÇ\ w = o.
Mais \ rnxy^ \ mx^ \ mj sont nulles-, donc
«6 = o, et Ton trouverait de môme
ay = o, €7 = o.
Il résulte de là que deux des trois inconnues or, S, 7 doivent être nulles. Supposons que ce soient 6 et 7. Alors le poiut O' est sur Taxe Ox,
531 . Jusqu'à présent nous avons exprimé que les axes principaux relatifs au point O^ sont parallèles aux axes Ox, Ojy Oz. 11 faut exprimer que les moments correspondants aux nouveaux axes sont égaux. Or, d'après un théorème démontré (522), ces moments sont
A, B-hMa», C + Ma»;
on doit donc avoir
A -- D -i- Ma» — C H- Ma»;
donc
QUARANTIÈME LEÇOK. X4l
et ensuite
